On donne trois points et deux tangentes

Soient a , i , c les trois points donnés , T, T' les deux tangentes qui se coupent au point O et qui touchent respectivement la courbe aux deux points d , e qu'il s'agit de déterminer.

On peut regarder la corde de contact de comme représentant un quadrilatère inscrit dont deux sommets sont infiniment voisins l'un de l'autre en rf, tandis que les deux autres le sont pareillement en e. La corde bc étant considérée comme une transversale du quadrilatère et d* la

courbe, fournit une relation d'iuvolution, eu vertu du théorème de Desargues, entre les six points où elle coupe les côtés opposés du quadrilatère et la courbe. Ces points se réduisent ici à cinq, savoir : t ^ t' sur les tangentes fl?0, eO respectivement 5 s sur les deux autres côtés opposés qui se confondent en un seul de] et enfin b^ c sur la courbe. Le point ç est donc un point double de l'involution déterminée par les segments bc , tt\

Si Ton prend ab comme transversale au lieu de bc , on trouvera de même un point 9 appartenant à la corde de contact dcj qui se trouve ainsi déterminée par les deux points £ et ç. Mais comme chacune des deux relations d'involution fournit deux points doubles e, e' et f , o', on obtiendra quatre positions distinctes de la corde //e, savoir £(}), eç', e'ç, e'(p', c'est-à-dire quatre solutions différentes du problème proposé.

Nota. Dans le cas de la parabole où Ton ne donne qu'une tangente et trois points , on obtient de même quatre solutions. La tangente T' est à l'infini ainsi que le point t'5 donc le point t qui lui est conjugué dans l'involution est le point central de cette involution dont on connaît en outre le segment bc et dont il s'agit de trouver les points doubles. Chacune des quatre cordes de contact £(p est un diamètre d'une parabole satisfaisant aux conditions proposées.