On donne trois tangentes et deux points

Nous allons déterminer deux nouvelles tangentes à la courbe aux points donnés «, b. Soient AB, BC, CD celles qui sont données. Désignons par O le point de concours inconnu des deux tangentes cherchées*, si l'on regarde r angle bO a comme un quadrilatère circonscrit Oa06 dont les côtés adjacents se sont confondus deux à deux en un seul Oa ou Oi, on verra tout de suite cpie la droite BO est un rayon double dans Vinvolution formée

( '23 ) par les deux couples de rayons conjugués Ba, Bè et BA, BC.

Pareillement, CO est un rayon double de Tinvolution Ca, Ci' CB, CD. Donc le point O, intersection des rayons BO et CO est détermine. Mais comme chacune des deux învolutions comporte deux tels rayons , on obtient quatre positions distinctes du point O, et, par conséquent, le problème admet, comme le précédent,* quatre solutions. ^

Nota, S'il s^agit d^une parabole, l'une des trois tangentes données est à l'infini, BC par exemple. La construction reste la même en principe*, mais ici les deux faisceaux de rayon en involution se composent de droites parallèles 9 puisque leurs sommets respectifs B et C sont à l'infini. Coupons-les par une transversale quelconque. On aura sur cette droite, relativement au premier faisceau, deux points a , (3 intersections des rayons conjugués oR , 6B; un point &>, intersection du rayon AB dont le conjugué CB est à l'infini , ce qui est cause que w est le point central de l'involution; enfin un point double x^ inierseclion du rayon BX et qu'il s'agit de déterminer. Relativement au second faisceau , on aura de même deux points conjugués d'une involution a', jS'j un point central o)', et l'on déterminera un point double j; les droites xO, jO^ parallèles respectivement aux tangentes données AB, DC, se couperont au sommet O de l'angle circonscrit à l'arc ah de la parabole, et Ton aura encore quatre solutions, parce que l'on obtiendra deux positions du point x et deux positions du point j^.

7. Quelques-unes des données peuvent être imaginaires. Sans entrer dans le détail des différents cas qui peuvent se présenter, supposoiis qu'on ait à faire passer une (*onique par quatre points imaginaires et un point réel a.

Le système des quatre points imaginaires peut être

donné au moyen de deux coniques ( tracées ou seulement déterminées par cinq conditions) qui ne se coupent en aucuns points réels.

Dans ce cas , menons par le point donné a une transversale qui rencontre les deux coniques données en h , h\ I, V respectivement et la conique qu on veut construire en a' . Les six points a , a' ^ h , A', i , l' sont en involution*, donc on déterminera facilement le point a', et, par suite, autant de points qu'on voudra de la conique cherchée.

L'une des coniques données peut être remplacée par le système de deux droites qui seront, par conséquent, les axes de sy ni ptôse de la première et de celle qu'on a à construire. La construction demeure identiquement la même.

Enfin , on peut ne donner que deux droites L , JJ sur lesquelles doivent se trouver deux par deux les points imaginaires e, (p, y, d. Mais alors il faut connaître en outre leurs points milieux co , (p et les rectangles de leurs distances à deux points fixes pris sur L et sur L', ou , ce qui en est une conséquence, au point de rencontre m de ces deux droites. Ainsi Ton connaît ms,m<f et my.niB*

Par le point a , menons , parallèlement à L, une droite

aa' n qui coupe la conique cherchée en a' et L*' en n. On

aura , en vertu du théorème de Newton [Géométrie supé"

rieure, n**48o),

na\na mt.mt^

ny.nQ m y. m 9

équation qui fera connaître le point a\ Par ce point , on mènera une parallèle à L' et Ton déterminera un autre point 6, et ainsi de suite de proche en proche.

Remarque. Deux des points imaginaires peuvent être donnés a Finfini , soit sur une conique , soit sur un cercle. Dans le premier cas , la conique cherchée est homothe-^ tique à celle qui est donnée , et dans le second elle est un

cercle ayant pour axe radical avec le cercle donné la droite sur laquelle sont donnés les deux autres points imaginaires.

Etc.