m étant un nombre entier positif, la valeur en

tière et inférieure la plus approchée de (i H- ^3)*"*+' est divisible par 2*""^'. Soit par exemple m = i,

(i 4- ^/Sy = lo H-6 \/3 = 20,39. . .;

20 est divisible par 2^"*"* = 4 ^ soit w == 2 ,

(i H- v/'sy = 76 -f-44 V^= i52,20.. .;

i52 est divisible par 2*+* = 8. (J.-J. SylVîestbe.)

3G6. Sur une droite AB de longueur donnée , on décrit un segment capable d^un angle donné, L^extrémité A se meut sur une droite fixe M et l'extrémité B sur une droite fixe N situées Tune et l'autre dans le plan du sèment. On demande de trouver : i" le lieu d'un point quelconque du plan du segment , point fixe relativ^enieni au segment^ 2** le lieu d'un point de la circonférence du segment; 3^ l'enveloppe du cercle; 4° ^cs mêmes lieux et U même enveloppe lorsque V angle donné est égal à Tangle des deux droites M et N. (De la Gouenerie.)

367. Les côtés d'un angle droit inscrit dans une circonférence de cercle interceptent une demi- circonférence et sous-tendent deux arcs supplémentaires; on mène â chacun de ces trois arcs une tangente telle, que le point de contact soit au milieu de la portion de tangente interceptée entre les côtés de l'angle suffisamment prolongés. Démontrer que les trois points de contact sont les sommets d'un triangle équilatéral.

(Sir Frederick Pollock, F. R. S., lord chief barou of the Court of Excbequer. )

368. p^ <jr, /• sont trois fonctions entières linéaires en X et j" ; p = Oj q=zOy r = 0 sont les équations respectives des côtés AB , BC , CA d'un triangle ABC ; p — ^ = o, q — r=o, r — p = 0 sont donc les équations de trois droites passant respectivement par les sommets B, C, A ,

. ( iî^7 ) et se renconlranl au même point D^ soienl a, jS, y les points où AD rencontre BC , où BD rencontre CA , où CD rencontre AB. Trouver en fonction de p , q^r l'équation de la conique qui touche les côtés du triangle en a^ fl,y. (Arthur Cayley.)

369. Mêmes données que dans la question précédente. Il s^agiT de mener deux droites R, S rencontrant AB aux points f\ , 5i , BC aux points rj , ^2 , C A aux points rj , s^^ de telle sorte que les trois systèmes de cimj points ri , 5^ , A , y , B 5 Tj , /j 5 B , « , C 5 Ts , 5, , C , /3 , A soient en involution, a 5 j3 , y étant des points doubles. Trouver en fonction àep^q^r les équations des droites R , S.

(Arthur Cayley.)