RÉPONSE A LA PRÉCÉDENTE LETTRE

Je vous renvoie la Note critique que vous m'avez communiquée relativement à ma formule de quadrature. Votre abonné dit : « L'auteur affirme que cette formule est toujours préférable à celle de M. Poncelet , mais cette assertion ne me parait pas fondée. » D'abord je vl affirme rien, je démontre que lorsque les éléments dans lesquels

( .3) on partage la courbe sont assez petits , ma formule est beaucoup plus approchée que celle de M. Poncelet, et cette assertion n'est ni plus ni moins fondée qu'un théorème quelconque d'algèbre ou de géométrie. J'ai donc lieu d'êtve fort étonné de voir contester une chose évidemment incontestable par tous ceux qui ont compris les considérations analytiques qui m'ont conduit à modifier la formule de M. Poncelet, et je pourrais laisser sans réponse le singulier raisonnement de votre abonné. Je veux pourtant dire en quoi il pèche, ne fût-ce que pour l'édification personnelle de son auteur.

Considérant le cas d'une courbe concave vers l'axe des abscisses, votre abonné dit que l'on a, suivant les cas,

, A -f- A' et il prend le cas où ^ S. A partir de là son raisonnement est irréprochable, et il démontre que dans

ce cas — est plus approché de S que 5 — /c'està-dire que la formule de M. Poncelet donne un résultat plus approché que la mienne. Il n'y a qu'un petit malheur à cela , c'est que le cas examiné par l'auteur ne peut jamais se présenter. Si votre abonné avait lu ma Note avec un peu plus d'attention , il aurait vu que je démontre (p. 379) que S — A' est plus petit que S — A (en valeur absolue), ou, en d'autres termes, que la somme des aires des trapèzes circonscrits est plus rapprochée de l'aire de la courbe que la somme des aires des trapèzes inscrits. Or, dans le cas d'une courbe concave vers l'axe des abscisses, A' est plus grand que A, et comme S est plus approché de la plus grande de ces deux quantités , il s'ensuit que S est plus grand que leur moyenne Srithmélîque,

etque Toa a

Votre abonné part donc d'une hypothèse absurde en posant • ■

Avant d'établir par des considérations de séries que S — A est plus grand que S — A' (en valeur absolue), j'avais dit (p. 372) qu'il est facile de voir par de simples considérations géométriques que la somme des aîres des trapèzes circonscrits conduit à un résultat plus approché que celle des trapèzes inscrits , mais je n'javais pas cru devoir démontrer cette proposition élémentaire. Comme votre abonné ne s'en est pas rendu compte , ce qui Ta fait tomber dans son raisonnement paradoxal ^ je répare ici celte omission.

Soit

Il s'agit de démontrer que la différence entre l'aire inscrite et la courbe est plus grande que celle entre l'aire circonscrite et la courbe, ou que le segment curviligne Mm M' est plus grand que la somme des segments curvilignes MT m + mT' M'.

Menons les cordes Mm et m M'. Il est facile de voir

que le triangle MmM' est égal à la somme des triangles MTm H- mT'M'. En effet, on a