Deux cercles concentriques ayant pour rayons
r et r ^ — i se coupent à angle droit. Démontrer et expliquer ce résultat d^apparence paradoxale.
376. Sur toute surface du troisième degré, on peut trouver vingt-sept droites.
377. Soient AAi , BBi , CCi les trois perpendiculaires abaissées des sommets d'un triangle ABC respectivement sur les côtés opposés ^ considérons le triangle Ai , Bf , Ci ; soient As le point où Bi Ci coupe AAi -, Bs le point où Ai Ci coupe BBi , Ci le point où Ai Bi coupe CC^ 5 considérons le triangle AsBsCs; soient As Pintersection de BsCs avec AAi; Bs l'intersection de A^Cs avec BBi, et Cs Tintersection A^B^ avec CCi*, et ainsi de suite.
étant les équations des côtés BC, AC, AB du triangle, l'équation de A„ B„ sera
a CCS A + p cosB — //?„ 7 ces C = o
ou
Wn-i /w„2 m,
m, =1 , d'où
'"'» — a^-i ' ""'"^^ - a»n+. + , ' l'équation de A B est donc
a ces A 4- P ces B — 27 cosC = o ;
de même pour les côtés B„ C„, A„ C„.
I®. La droite AAi bissecte Tangle B„A„C„; de même les droites BB, , CC, .
2**. Toutes les droites A„ B„ passent par le même point ^
( ï8o) de mcmc les droiles A„C„, B„ C„5 et ces trois points sont sur une même droite.
(E. Harrisow, B. a. Trin. Coll. Cambr.)
378. Deux droites fixes A, A' et deux points fixes o, o' sont donnés dans un môme plan. Une molécule M parcourt la première droite avec un mouvement représenté
'par l'équalion
et une molécule M' parcourt la seconde droite A' avec un mouvement représenté par l'équation
e désigne. r espace, t le temps et a, &, a', b' sont des constantes données. S et S' étant deux positions simultanées des deux molécules , on demande : i*^ de trouver l'équfftion du lieu géométrique de l'intersection des deux droites oS, o'S'5 2° l'équation de Fenveloppe de la droite SS' \ 3° de démontrer qu'il existe une relation hofnographique entre les points S et S'.
379. Mêmes données géométriques; le mouvement du point M est donné par T équation
e ::=z at et celui du point M' par
et =1 a' ;
on demande de trouver : i*^ l'équation du lieu géométrique do l'intersection des droites oS, oS'; 2° l'équation de l'enveloppe de la droite SS'*, 3" de démontrer qu'il existe entre les points S et S' une relation d'inuolution,
380. Soient donnés un angle trièdre trirectangle de sommet S et un point quelconque O par lequel on mène un plan P coupant les faces de l'angle suivant ABC; trois parallèles aux cotés du triangle et passant par le point O partagent ce triangle en trois parallélogrammes et trois
( i8' ) triangles, p , p\ p" étaut les aires des parallélogrammes^ ou a
/?'sin'(SA, P) /7'»sin'(SB, P) /?"»sin»(SC, P)
kP F P" I sin2(S0, P)'
(SA, P) est l'angle de la droite SA et du plan P, /? est l'aire du parallélogramme ayant l'un de ses sommets en A ; de même p' a un sommet en B et p" en C.
Lorsque le point O est extérieur au triangle ABC, il y a un changement de signes à faire dans le second membre.
(Mannheim.)
381. Représentons par 2y^ la somme de tous les diviseurs de/;, l'unité etp compris. Soient i, /^/i , r/, , r/g,..., m tous les diviseurs du nombre m. Faisons
I (Il di «j 'f(
on aura cette identité
