B" A' — BB

COSXjr — COSXZ VOS JTZ

Lorsque la corde, au lieu d'être principale , sera simplement conjuguée au plan

y.eiv s'expriment comme il suit :

^(BB^^ --A.'B')-\-ed (BB^ ~ A^^ B") — e^ (B' — A^ A^ ) ^ "" d/{B' B" — AB ) H- e/{ BB" — A'B' ) — /» (B"^ — AA'} '

€y(B^B^^ — AB) -+- cie{BB'-- A^^B^) — ^ (B^' - AA^^) "^ ~"^(B'B''~AD)-hc/(BB" — A'B')— /«(B''^» — AA')'

pour les paraboloïdes dans lesquels lia droite

est parallèle à l'axe, on a

( '-^'7 ) 2. Coupons la surface par le plan

£ly + ex -^-fz -H g^ = G .

L'intersection aura pour projection sur le plan des xy la courbe

+ ^» ( A/*' -f- A'' ^' — 2 B' ef) + 2^ ( AVg^ - Bg/-h C'/^ - C" df) + 2^ (A'V^ - B'g/~CV/-f. C/^) -f- A'' g'» - 2 C' §/+ E/ = o.

Les fonctions /n et L relatives à cette courbe sont w.= «^(B'^— AA"] -f- e'' (B'— A' A") -4-/' (B"» — AA') ide{h!'h" — BB') -H 2p/(B' A' — BB") 2fi/*(AB — B'B"), L, = lé" + /' d^ 4- /"/' -h 2 egk -f. 2 r/^X' -4- 2g/)t" 4- /wg'* — 2 dfn — 2 <?/>/' — 2 «^e/i" ,

/, /', /", A,..., «'' ayant les significations fixés plus haut.

A l'aide de ces expressions , nous pourrions étudier les surfaces du second ordre et avoir leurs caractères spécifiques. Je supprime la discussion dont la place serait plutôt dans une théorie systématique des surfaces du second ordre, que je n'ai pas l'intention d'établir ici.

Quand la section se réduira à un point ou au système de deux droites , le plan sera tangent à la surface. Ainsi la relation

mg^ + le^ -*- /' d' H- T/» 4- 2 ^(jg' 4- 2 ^' dg -h ik" gf — 2 dfn — 2 efn' *- laen" = o

représente la condition nécessaire et suffisante (*) pour le

(*) Nécessaire, mais non suftisantc; lo point do contact est imaginaire lorsque /w, et L, sont négatifs. Tm.

(otitail du plan

(Ijr -h ex -^fz -^ g =:o

avec la surface du second ordre.

Si / = o, ou /'= o, ou /" == o , la surface touche un des plans coordonnés.

3. On aura les sections circulaires, en idcutifiaiit l'é- ([uation se rapportant à la section plane en général avec celle de la projection de Tintersection du plan

dy + ex -\-fz 4-^ = 0 t't de la sphère

-H 2 (.f- — a) [y — p) cosxK -{- i[x — a) (s — y) cos j:3 4-2 (j — P){2 — 7) cos jz =^ R'.

Ctîtte projection ayant pour équation

J-'(^-t-/'— -J^dfcoszx) -h 7.XX [f^ cosjTj" -h ^r? — cfco^zy — ^cos Jiz) 4- .r^ (y 4- ^f'^ — 2 ^cos xz)

f- ?.7 [(p 4- acos xj 4- 7 cosj> 3)/ - — df['^i 4- acos j:z 4- ^ cosjzj] \- 2 j?[(a 4- P 0-050:74- 7 COS./.' z)y^ — ('/{-^ 4- a cos j:3 4- ^ cos/î)] /•a / a^ 4- p^ 4- 7^ 4- 2 ap cosjcr 4-* 2a7 cos.raX __

^^ \4- 2P7 cosjr--— R' y— o>

il viendra en identifiant (p. 2 1 7)

,/24./2 2 df cosxy = (A'/^ 4- A" r/^ — 2Bd/)\^. y^ cos.r>' 4- de — rfcoszy — dfcosxz = (B V + A'' de - B./- B'.(^) X , /.' 4 ^/^ . o. ,/cos xz — ( A/-' 4- A" <?-■ — 2 B' ef) l ,

où X (>si un facteur à délermin(M*.

( ^^9 ) De là on conclut

cos7ar — XB" + -^(i — ÀA'M — ^ r-oszr ~ aB) d .

•— 7î (COSJTZ >B ) = O,

i — lX-h^^ii — lA")— —(cosxz — XB')= o.

Donc, en vertu d'une identité, on est conduit à cette équation du troisième Jegré eu i

(I — > A) (i — 5iA') (i — lA") — (i — XA') (cosjcz — XB')»

— (i— .XA")(cos^j — XB")»--(i — XA)(cos/z— XB)=^ -4- 2(co8 8X — ^B) (cosarz — XB')(cosa?/ — XB") = o,

ou