B' — A' A" H- B'^ — AA ' + B"»— AA

- X' j 4- 2 cosjcj ( A" B" — BB' ) + 2 cosz/ ( AB — B' B'') 2 cos z.r (A' B'—BB")

A sin»/z -h A' sin^xz -}- A'^sin^ j?j

— 2B' (cosxa — C0SZJC0SX7-)

— 2 B" (ces JTjr — ces zj ces zj: ) 2B (cosj^z — cos.ry cosxz )

-4-1 — ces' a;;^ — cos^ j;z — cos'/z ^- 2 cosa:/ cos:rzcos/z =0 (*)^

Pour découvrir la signification géométrique de X , transportons l'origine des coordonnées au centre de la surface, ce qui ne changera pas les coefficients de l'équation du troisième degré, et imaginons que la sphère soit concentrique à la surface. Un raisonnement direct apprend

(*) Cette dernière expression est le volume du parullélipipcde qu'on obtient en prenant à partir de l'orijifine une Irniyucnr épalc à l'unilé sur les trois axes. Tm.

[voyez les Déuelo/}f)ements de Géométriti de M. Charles Ig Dupîu, page 168) qu'il y a deux sections circulaires p ayant pour centre celui de la surface et pour rayon la longueur de Taxe moyen. Mais ridentification fournit

)lE = — R»;

vi^ Torigine des cooordonnëes étant au centre,

Donc le carré de l'axe moyen sera racine de Tëquationdu

troisième deeré dont Tinconnue deviendrait — 1 — On

voit de même à priori que les sphères concentriques â li surface et ayant pour rayons les longueurs des axes extrêmes , coupées par leurs plans correspondants, donneraient des cercles ne pouvant appartenir à la surface du second ordre, quoique X reste toujours réel. Conséquemment, le calcul, qui n'admettait aucune différence entre ces divers cas, doit faire trouver les trois valeurs de X correspondantes aux axes principaux , et l'équation dont l'inconnue

est — 1— a bien pour racines les carrés des demi- axes.

Notre déduction s'accorde, au surplus, avec l'énoncé (ju'on lit à la page 399, des Propriétés projectiles.

Ainsi l'équation aux carrés des demi -axes dans le cas le plus général sera

>.; 4- X^ il [- 2 (g, ^/ ^// j ^ 2 2cosxr ( A" B" — BB')1 — X, — [2 A sin'jz — I7.B (cos^z — cosj?/ cos.rz)] (i — cos'xr — cos^xz — ces' yz