z') (.r - x') A, ^t.ix^yy

/, jt'-f- /', j'-t- /W| z' H- 2A*', j3 -H 2/r,zj: — 2/1, jrx

— 2z(//ï, z' 4- ^', r' 4- /r, .r') 4- W|Z'^ + 2Â', y z' 4- 2k,z'x'zf.l\ j"4- /..r'*-- - i.n^.r! y = o.

Cd/ie asymptotique. Ici

L,' équation du cône asymptote , par des réductions faciles au moyen des relations d'identité, est finalement

Ajc'4- A'j'+ A"3' 4- 2Bjz 4- 2B'xz 4-2B";r^

i. Problème. Tromper le lieu ries sommets des trièdres triîectangles circonscrits à une surface du second degré.

Soient

(if -h e.r 4-/z 4- ^ = o ,

dy 4. e'x-^/'z + ^' = o,

les ëqualions de trois plans tangents à une surface dti second degré et se coupant à angle droit. Les axes étant rectangulaires , on a

dd" -^ee" -^ff" =.0, d'd" >^e'e" -^f'f'zzzo^ et de plus (p. 223).

d^[my^-^ ik'y -h/')

— lide [ky -h ^' x' -h n" — mx' y) 4-^»(wx"-- 7.k' af -\-l)

— -xdf^k' z' H- h" y ■+- 71 — my t')

— nefikz' -h k" x' -+- n' — mz' x') -h (mz'' — k'^z' •^r)fz=o,

ainsi que deux autres équations analogues en d\ e\f\ rf", etc., où x\y\ z* sont les coordonnées du point de concours des trois plans. Donc , d'après une identité précédemment démontrée ( p . 2 1 3 ) ,

C'est l'équation d'une sphère ayant même cenli*e que la surface et pour carré de son rayon la somme algébrique des carrés des demi-axes.

Poisson , qui a résolu ce problème dans la Correspondance sur V Ecole Polytechnique (*), a laissé de côté le ■ ■ I. » . ■ — — ^

(*) Voir t. V, pape 670.

Ann. de Mathcmat., l. XVI. (Juin 1857.) l5

cas des deux paraboloïdes pour lesquels le lieu e»f

c'est-à-dire un plan perpendiculaire à Taxe,

Plus bas , j'aurai besoin de l'équation du lieu actuel en coordonnées obliques. Il m'a paru difficile de l'obtenir directement. En effet, la condition de perpendienlarité devenant alors

ee' sin' yz -h dd^ sirt^ xz -^ff ^va^xy

— ( ces j?/ — ces zy COS.3J?) {^' e -|- de^ }

— (cosjz — cos3.rcosj?7)(rf'y-f- df)

— (cosz^ — ç.Q%xy co%yz) [ef -f- e' f^ = a,

P identité analogiee à celle qui vient de nous servir serait bien plus compliquée. J'ai donc préféré déduire cette équation générale de l'hypothèse où les axes étaient rectangulaires ; on obtient ainsi immédiatement

wx'^ 4- wj'^4- wz'* -♦- imx^ y ç,o^xy -4- vtmy' s! aosyz

-h imx' z' exisxz — 2 j?' (^ -f- A' cosxy -f- k" coszx)

— ly' ( A:' 4- A* ces xy 4- k" cos yz)

— 2 z' ( k'^ 4- k' cosjî 4- k eosxz) 4- / 4- /' 4- ^''^ •

— 2 /» cos yz — in' cos xz — 2/i" cosx^ == o y

€l pour m = o ,

y' (k^ -h k cosxy 4- A*'' cos jz) 4- .a?' ( A: 4- A"' coso?/ 4- A-^cosaor} 2' ( k" 4- ^' cos/z -h k cos zj: )

/ 4- /' 4- /'^ 4- n cosyz 4- /2' cos.rz 4- /z" cos j:j = o-,