Trouver le lieu des centres des surfaces du second
( 2^7 ) ordre assujetties à toucher sept plans donnés de position.
Prenons trots des plans pour plans coordonnés : alors
Soient
abc X Y z
oc y z
les équations des quatre autres plans.
Nous aurons successivement , par la condition de tangence (p. 217),
an bn' en'' . .abc
1 H = OCX -f- ^CT ■+- ^^2 9
1 i =zb' c x-\-a' c' y -+■ a' b' z ,
an un en , .. .. „ .. „ . .. a o c
OÙ 07, y, z désignent les coordonnées du centre de la
surface variable. Il y a donc entre les quantités — ? —) —
quatre équations du premier degré ^ par conséquent, les seconds membres de ces équations seront liés entre eux
par une relation linéaire , c'est-à-dire que le Heu géométrique cherché est un plan.
Corollaire /. Les centres de toutes les surfaces du second ordre tangentes à huit plans appartiendront à une droite, intersection des huit plans qu'on obtiendrait en combinant les proposés sept à sept.
Corollaire II. Le centre de la surface tangente à neuf plans sera donc sur neuf droites.
2. Trouver le lieu des centres des surfaces du second ordre tangentes à six plans et dont la somme algébrique dès carrés des axes soient donnée.
Prenons encore trois des plans pour plans des coordonnées. Nous aurons d'abord, comme ci-dessus,
an hn* en" . .abc
1 1 := OCX 4- acY H- abz 9 ,
a' n h'n' c' n" ,, , , , ,,, a'b'ef
Puis, appelant ^1^* la somme des carrés des demi -axes qui est donnée, on obtient (p. 209)
B» — A' k" + W — AA" -+- B"* — AA' -h 2COSa:j( A'' B'' — BB')
m- 1 -f- 2C0S zy (AB — B'B") j — Y y
H- 2cos.rz(A'B' — BB")
équation qui se transforme par les identités (p. Q09) en
k' k'^ k"^ IkW n"\
— H -H -+- 2 cos^j -7 H )
fk'k" n\ ik'k" n'\
^ 2 cosz/ ( — — H -h 2 cos.rz — - H 1 = + *
{ 2^9 ) ou
.r^ t\- y^ -+- 3' -f o.nosxf ( xy -+-
-h 2 cos zy [zy -\ ) 4-2 cos zx [xz -\-
Or — 5 — j — s'exprîmen t au moyen des trois équations m m m ^ •' *
précédentes linéairement en x^y^ z. Donc le lieu géométrique est une sphère.
La position de son centre est indépendante du carré donné. En effet, soient
a , |3 , y,..., y"' étant des fonctions de a, 6, c, etc.
IjC centre de la sphère sera au point de rencontre des plans
3c ~\. y co^xy H- z cosa:2 -+- a cos zy -f- a! cosxs -4- a" oosxy = o, y -{- X cosarj -h z cosyz -+- p cos zy -h p' cos.rz 4- p" cosa:j =: o, z -h y cosyz H- j? cos a:z -H 7 cos zj + 7' cos a?z -|- 7" coso:/ = o.
Remarque. Si Von se proposait de construire des sur^ faces du second ordre tangentes à sept plans et dont la somme algébrique des carrés des axes fut donnée , il y aurait sept sphères devant renfermer leurs centres. Mais, d'autre part, ces centres appartiennent à un plan; ainsi généralement tous les groupes de sept sphères qui découleront,des différentes valeurs du carré t|** auront un même plan radical. Pour une surface tangente à huit plans et dont la somme des carrés des axes serait connue , le centre serait à rinlersection d'une droite et des huit peliu.
cercles correspondants aux groupes de sept sphères quW obtiendrait en combinant les huit plans proposés sept à sept.
Du reste, abstraction faite de toute surface auxiliaire, on aperçoit sans peine la belle et difficile étude- géométrique qui résulterait de la combinaison du système de six , sept ou huit plans avec le système de sphères provenant du second lieu ci-dessus traité et qu'on ne connaissait pas encore, que je sache. Il faudrait, pour se livrer à cette étude, fixer nettement la position du centre de la sphère par rapport aux six plans : problème plus ardu que son analogue en géométrie plane. Car dans celui-ci, où Ton détermine le lieu des Centres des coniques tangentes à trois droites et dont la somme algébrique des carrés des axes est connue, le centre du lieu (qui est un cercle) coïncide précisément avec le point de rencontre des hauteurs du triangle formé par les trois droites (*). Au contraire, rien n'est trouvé sur la figure formée par six plans quelconques.
3. Trouver le lieu des centres des surfaces du second ordre tangentes à six plans et dont les produits deux à deux
des carrés des axes ont une somme donnée.
