I II

Ici la quatrième relation entre — ^ —5 — se conclura * m m m

de l'équation (p. 220)

[A sin' jz -H A' sin' xz -f- A" sin^xy — 2B' (cos^z — cosxycos zjr)

— 2 B'' [cosxy — Qoszy cosz.r) ■ ^ '

— 2B (cosjz — cos.rj^ cos^z)

^ étant une ligne connue.

(*) Je possède depuis lonjîlemps un moyen géométrique d'obtenir ce lieu.

i» identités

fouiiiisscut

AL' ink'k" n' m^ m m m nr

K'U in' k k" n'^ m* m ni m m^

K"l? in" k k' n"' m m m m /w'

BL' n

fi' n"

Tous ces coefficients contiendront donc x^ y z au. troisième degré, et ce sera le degré de la surface , lieu des centres.

4. Trouver le lieu des centres des surfaces du second ordre tangentes à six plans et dont le produit des axes est donné.

Nous avons , dans ce cas , pour quatrième relation entre

— > — 1 — et x, r, z (p. 29.0) :

} f I — C0S*J:/ ces* JTZ — cos*r2 \ ,j

r* \4- 2cosx7*cosx«cosj'2 /

On a (vo/r les identités)

U 7.nn^n^ ikk^nn' 2A; ^ /i «^ ^' ^ ^ ^ /«* mm m m m m m m m m m m m m m

On voit clairement que le lieu est une surface du quatrième degré.

Observation. 11 résulte des trois lieux précédents qu'on

peut construire au plus vingt-quatre surfaces du second ordre tangentes à six plans et égales à une surface donnée. Et le théorème analogue à celui de M. Steiner en géométrie plane s'énoncera ainsi :

Théorème. Les vingt-quatre surfaces du second ordre tangentes à six plans et égales en volume ont leurs centres sur une même sphère.

5. Tous les pâles d'un plan fixe par rapport aux sur* faces du second ordre tangentes à sept plans appartiennent à un plan. C'est une conséquence des formules trouvées §11, n^ 4. Et les pôles d'un même plan par rapport aux surfaces tangentes à huit plans seront sur une droite.

En particulier, le point de contact de la surface variable avec chaque plan décrira une droite. De sorte qne les points de contact respectifs de la surface assujettie à toucher neuf plans donnés seront situés chacun sur huit droites.

6. Théorème. Tous les plans d'où, Von voit sous un trièdre trirectangle les paraboloïdes tangents à six plans donnés concourent en un même point.

Un quelconque de ces plans a pour équation (p. 226)

y{^k'-\-k C0S.r^ H- k" COSrj)

•^ x[k -\- k' cos.rj -H k" cos zx)