DÉMONSTRATION

D'ane foroiDle dont od pent déduire, comme cas particnlier,

le biDÔme de Newton.

Soient X, a, b des quantités quelconques , et m un nombre entier et positif, on aura

-^ ma[a — (m -- 1) 6J'»-»[.r -f- (/w — i) €] 4- « (« — wê)"—».

Cette formule, que l'on doit à Abel (*) , a été démontrée dans l'un des Traités d'Algèbre conformes au programme officiel^ nous allons faire connaître une autre démonstration qui est, sauf quelques modifications de peu d'importance , celle qu'Abel a donnée.

Remarquons d'abord que l'égalité (i) est évidente quand m == i , puisqu'elle se réduit alors à

Elle est encore immédiatement vérifiée lorsque m = 2 , car, dans ce cas , 'elle devient

{^x -\- ay ■= x^ -\- 7, a [x -h ^) -\- a [a — aê) =.«^ H- 2rt[j? + fl^

11 ne reste donc plus qu'à faire voir que si l'égalité (i) est vraie pour une certaine valeur particulière de m , elle existe encore lorsqu'on augmente cette valeur d'une unité. Ainsi , en supposant que m représente un nombre entier positif, pour lequel l'exactitude de l'égalité (i) ait été

( *) Œuvres complètes, t. T, p. 3i .

( 238 ) constatée, il s'agit de prouver qu'où a

(;r H- «)"•+' = .r'"-^' -h (m-hi)a (^-h6)'"-h ^'"'^^^"^ a{a — 2ê)(j: + 26)^'

-+-(m-hi)a{a — m^)"'-^l(x-hm^) -h a [a — {m 4- i)6]".

Pour abréger l'écriture, nous désignerons pary(x) le .second membre de l'égalité (i) qui existe par hypothèse, et nous nommerons (f (x) le second membre de l'égalité (2) qu'il s'agit d'établir.

En prenant les dérivées par rapport à x des deux fonctions (x •+- «)'"+* et (j) (a:) , on trouve

(w+ i)(jc + «/« et (/?i + i)/(j:). Mais

par hypothèse : donc, les deux dérivées obtenues sont égales entre elles , et, par conséquent, les deux fonctions primitives (x -{- a)"""^^ ^ ^ (x) ne peuvent différer que par une constante, c'est-à-dire qu'on a nécessairement' l'égalité

en désignant par C une quantité indépendante de x.

Pour déterminer la valeur de la constante C, nous remarquerons que si l'on multiplie par {/7i+i)6, les termes a;'", ma (x -h S)'"""% etc., def(x)^ et qu'on ajoute respectivement aux produits résultant de ces multiplications les termes x"*"^*, (m + 1) a (x ■+- 6)'", etc., de 9 (x), on obtiendra des sommes qui admettront chacune comme facteur le binôme .r H- (m + i) 6. En effet on a

( '-^39 ) et

et , en général , la somme

I»^«0< 4 • fi

est égale à

« (« — /lê)"-' (.r 4- /16 )»»-« X (/^î -f 1)6

rt (rt — /26)"-' (.r -H w€ )«-»-*■•

De cette remarque , nous concluons que si l'on multiplie par (w + i) 6 les deux membres de l'égalité (i)

et qu'on ajoute l'égalité qui en résulte

(/w+ 1)6 (.r +rt)'« = (/iîH- i)6/{;r),

membre à membre avec (3)

on aura, en désignant par ^ [x) un polynôme entier par rapport à or ,

= 4'(^)X[a?4-(/w4-i)êl4-«[«— (/w4- i)€l'»4- C;

ou , parce que

=:[a:4' « 4-(w4- i)6](j:4- «)", on aura

{&)[ [;c4-û4- (/w4- i)6](a:4-fl)"'

Cela posé, si dans celte dernière égalité on remplace

( 2/io )

X par — [m -j- i) 6 , il vienl

a^a—im-^ i) 6)"* = « [a — (/« 4- i)ê]"+ C,

d'où

Par conséquent, on a

C'est ce qu'il fallait démontrer.

En posant 6 = o, la formule (i) donne le développement de la puissance m d'un binôme [x + ci)..

Nous examinerons prochainement d'autres applications de cette formule. G.

(voir t. XII, p.?î7);

Par m. Charles MERAY (*).

Soient un triangle ABC , deux droites P , Q se coupant en F et rencontrant les droites AB, A'C respectivement en G et en K ; menons par le point A une droite mobile A rencontrant les droites BC, P, Q respectivement en D, I, L. Inscrivons deux coniques, Tune dans le pentagone BDLFG et l'autre dans le pentagone CDIFK. En vertu du théorème de Brianchon , le point de contact de la première conique sur BC se trouve sur la droite qui joint le point F avec le point d'intersection tn des deux droites GD, BL5 de même le point de contact de la deuxième conique sur CD se trouve sur la droite F m', m' étant le point d'intersection des droites KD , CL , si Ton fait mouvoir A , les points D , L forment sur les droites BC et Q