III

C*) Aujourd'hui élève à lEcole Normale.

deux divisions homograpbiques dont deux points homologues sont C , K : donc M' décrit une droite M, de même m en décrit une autre Nj donc les faisceaux ayant pour centres F> K et formés par les droites telles que km' sont homographiques , ainsi que ceux ayant pour centres P et G et pour rayons les droites Gm^ F m. Mais les rayons GD , KD forment évidemment deux faisceaux homograpbiques; donc les rayons F m, F m' forment aussi deux faisceaux homograpbiques ayant même centre , les rayons doubles sont évidemment P, Q -, donc le rapport anharmonique de P, Q , F/w, Fm' est constant: si le point F est le foyer des coniques et les droites P, Q les tangentes issues du foyer, on retombe sur le théorème de M. Stubbs.

Paris, i854>

SECONDE SOLITION DE LA OliESTION 332

(TOir t.XY.p. îW, et t. XVI, p. Ï6);

Par m. PAllNVIN,

Docteur es Sciences mathématiques.

La démonstration du théorème énoncé est excessivement simple si l'on prend la fonction O sous la forme

^jt étant le produit des facteurs simples correspondants aux racines de degré de multiplicité k. En effet,

— — = X, X, . . . X^. . X^ -+- 2X, X| Xj. t . Xj. . . X^ -f- . , .

"T" A" A.W A.\ A.] • • • -A.» • « • Jv.

—f- • . . -+- fi X Xj X] > • • X. • • • A. .

Afin, de Mathémat,, t. XVI (Juillet iS^;.) l6

Par conséquent

(^ =r ~ =: A.| Xj . . . A-k • • • -A-a 9

djc

où Ton a posé

c est-à-dire qae pt, renferme tous les facteurs Xi , X| ,..., X„ sauf le facteur X^ .

^ = p,X',-h/>,X', -f-.. -+-/>iX;-H...-l-/>,Xi. Donc

le terme pj, X/ a disparu.

( R — k -j-> j est donc divisible par Xjt et ne l'est par

aucune des fonctions Xi , X|,..., X^ qui sont premières entre elles. Donc X;i est le plus grand commun diviseur

des polynômes Q et R — A — •

uJP

C'est la proposition énoncée.

SOLUTION DE LA aUE^TION ZU

(YOir t. XV, p, 243, et t. XVI, p. 68);

Par m. PAINVIN,

^Docteur es Sciences mathématiques.

La construction indiquée dans cette question donne lieu à plusieurs identités analogues à celle qui est énoncée; ces identités sont toutes évidentes, si Ton remarque

que

AO^ = flOB,

COfl = cOA; ce sont des angles opposés par le sommet.