AB __ CD

^'^ ma.mb"~mc.md'

toute conique E' ayant les mêmes foyers FF' que la première 5 sera coupée par les sécantes en des points A' et B', C et D' tels , que l'on aura ainsi

^ ' MA'.MB' MC'.MD'

Prenons pour axes coordonnés les sécantes MB^MD. L'équation de la conique E, rapportée à ces axes, sera de la forme

(3) uoT^ H- bxf -f- cf^ -+■ dx -\- ejr -{- f= o.

Dans cette équation, si Von désigne par x\ x" les valeurs de X pourj^ = o et pary', j^" les valeurs de j^ quand :r = o, la relation (i) nous conduit à

x' x' ~ f y" qui entraîne la suivante entre les coefficients

Soit maintenant

. A^/'-hB^x* — A'B'rr o

Téquation de notre conique E rapportée à son centre et à ses axes; en appelant a, (3 les angles de MB, .MD avec le grand axe, et P, Q les coordonnées de M relatives à ce» axes , le retour aux axes obliques transformera celle équation en eclle-ci :

.^v j B*(/?-+- J:cosa-i-jrcosp)

^ ^ ( -|-A»(y -4- J7sina-+-/?sinp)» — A»B' = o.

En identifiant cette équation avec Téquation (3) ,^ on aura

a = A' sin' a -H B' cos' a ,

c = A' sin'P + B' ces» p, d-=i a A* y sin a H- 2 B*/? ces a , e=: 2,A}q sinp -h sB^^cosp,

(*) Soit cy* H- cy 4-/= o, Téquation inverse est/«' ■+- e» -h c = o ; le

carré de la différence des racines est — . , , ; donc, etc. Tu.

Dès lors la relation (4) deviendra

Spq A'B'sinacosa -t- A'B^ (A'sin^a + B'cos^a)

— A' B^ (/?' sin* a -h q^ cos^ a ) ' = 8pq A' B» sin p ces p -4- A^B' (A' sin' p + B' cos' p)

— A'B'(/?»sin*p-f ^'cos^p) ou

ipq ( sin 2 a — sin 2 p )

H- (sin» a — sin» p) ( A» — B» + 7» — /?») = o.

Si la quantité A' — B* reste constante , cette équation ne cessera pas d'avoir lieu quelles que soient les valeurs particulières de A et de B.

On voit donc que la conique E', homofocale à la conique E, sera coupée par les sécantes en des points A' et B', C et D' tels, que