Ai = Si -h Al Si y

o A3 = ^3 -J- A I Sq -f- A3 5| y

/"Al- Jr "H Al Jr— 1 ~f~ Aj ^r— 3 "H • • • "t~ Ar—i ^1 t

Jesquelles multiplias par a^^i , a^.tv) ^o donnent, en les sommant ,

d'où

Wo Ar -f- (r — 1) û, Ar i -h ... -H A, ^,.,

= — (fl, Ar-i) -h 2û, Ar 2-h. . .-f-'^^r), rt« Ar -4- «1 Ar— 1 + . . . "4- flr— I A| 4- «r = O.

On en déduit

«r âfr i ^r-3

(*) Nous engageons les életes à faire n = 2 ; tout détient intuitif, et \a belle démonstration du célèbre analyste subsiste pour n quelconque.

Tu.

(voir p. 198),

Par m. Louis CREMONA.

Professeur au lycée de Crémone.

Toute conique qui touche les côtés du triangle ABC (p = o, g=o, r = o) est représentée par T équation (Salmon, Conic sectionSj 3® édition, p. ^47)

Pp^ -\- m} q'^ -^ n} i^ — 7,mnqr — ^nlrp — ilmpq = o (*),

où /, m^n sont des indéterminées. Les points a, P, y étant déterminés respectivement par les couples d'équations simultanées

la conique passera par les points a, |3, y, si Ton satisfait aux conditions

rh^ -+- n'^ — 2 mn = o , «'-+-/' — 2/î/r= o,

/* -4- w' — 2//W = o, ou bien

donc l'équation cherchée est

p^ -h g^ -h r^ — 2 <7r — 2rp — 2/jq z:= o.

Note. M. Joseph Martelli ; de Milan , donne la même démonstration avec plus de développement.

(*) Ou bien (//?)' -^-{mrjf-^(nrf^o.

(voir p. 192) ;

Par m. Louis CREMONA, Professeur au lycée de Crémone.

Soient

pz=o, q=zOy r=o

les équations des côtés BC, CA, AR d'un triangle ABC;

sont donc les équations de trois droites passant respectif vement par les sommets A, B, C et se rencontrant au même point D; soient a , j3 , y, les points où AD, BD, CD rencontrent BC, CA, AB. Soient

Ip 4- mq -\- nr-=z.o^ Up -{- m^q -\^ n^r=zo

les équations de deux droites R, Ri qui rencontrent» respectivement BC , CA , AB aux points a ^a^\h^ ii ; c, Cj ^ par conséquent, les équations des droites Da, D^i , sont

n [r — p) — m[p — q) =1 o ^ ni{r — p) — m,{p — q) =0.

Le rapport anharmonique des quatre droites DB , DC > Pa , Da,

est - (Salmon , Conic sections j, p. 53) et le rapport an-

harmonique des droites conjuguées DC , DB , D a ^ D Oi ,

est — ^ ', donc les points B , C , a , a , ai seront en involution si Ton a

Ainsi les conditions nécessaires et suffisantes pour que les trois systèmes de cinq points

(a , |3, y points doubles) soient en involution, seront

//i r=: I7t/lt| = /2/{|.

Il s'ensuit qu'en prenant arbitrairement la droite R,

Ip -^- mq 4- /ir = G,

la droite R, sera

par

(Tolrt. XV, p. 226);

Par m. MARSANO,

Professeur à Gènes.

Conservons la même figure que sur la page 226»

M. Marsano démontre qu'en général : i" les qualrc

points T, tjC^c sont sur une même circonférence; ^^ si ron porte sur OT une longueur 0L:= R et sur Ot une longueur 0/= R, Taire du triangle OL/ est équivalente à Taire du quadrilatère Tt Mm, où M, m sont les points de contact respectifs des tangentes intérieures OT, Ot.

Dans le cas particulier où TOt = -> L tombe en M et

l en 771*, Tauteur s'appuie sur cette proposition que dans deux triangles rectangles semblables , le produit des hypoténuses est égal à la somme des produits des côtés homologues de l'angle droit ^ proposition qu'on trouve aussi dans ces deux Mémoires de Tauteur : Memoria sui trianguli simili, Genova, 1846, in- 8, et Memoria sui rapporti deUe figure f par G.-B. Marsano. Genova, i846. M. Marsano répond aussi aux questions S22 et 32S.

(voir tome XIV, page 806) ;

Par m. E. COMBESCURE,

Professeur à Montpellier.

Mener par un point donné dans un angle sphérique un arc de grand cercle tel , que le rapport des sinus des deux segments soit égal à une quantité donnée.

Soient p, ^, les perpendiculaires sphériques abaissées

( 254 ) • d'uD point O pris dans Fiiitérieur d'un angle sphériqùé CA6 sur les côtés de cet angle. Menons dans une direction quelconque un arc de grand cercle HOM , faisant an angle &» avec le prolongement Olde p^ et prenons sur cet arc un point M tel , que

sinOM sinOI

àinOH sinp

ou, en faisant OM = p, OH = J, 01 = ^ i

sin p siti p

sin 9 sin/?

j3 désignant un angle donné que je supposerai pltis petit que p.

Le triangle HOB donnant

col ê = cotp ces « ^

l'élimination de ô entre cette équation et la précédente

r ' . sinB

tournit, en prenant sin a = -: — -^

I sin^w cos'&)

sin'p sin' a sin'P

cet' p = cot^ a sin'w -+- cot*p cos*» ,

équation du lieu des points M et qui appartient à une conique sphérique ayant son centre en O et pour demiaxes OI = (3 , OG = a. Cette courbe coupe le côté AC en deux points P et Q qui , étant joints au point O, donne^

ront

sin OP sin OQ sin p __ .

smOP' smOQ sm/?

et résolvent la question.

La détermination analytique des points P et Q n'offre

aucune difficulté. Si l'on désigne, en effet, par e Tanglé de q avec le prolongement de p^ le grand cercle AC a pour équation

cotp = COtq CCS { W + ff).

L'élimination de p entre cette équation et celle de la conique se fait immédiatement et conduit à une équation du second degré par rapport à tangw qui fait connaître les angles polaires POI , QOI, et, par suite, OP, OQ.

(voir page Î84);

Par m. le D"^ Joseph MARTëLLI, db Milan.

On donne un angle trièdre de sommet S et deux points fixes A et B situés sur une droite passant par le sommet S. Par le point B , on mène un plan quelconque déterminant un tétraèdre T de volume. V. Soit P le produit des volumes des quatre tétraèdres que l'on obtient en joignant le point A aux quatre sommets du tétraèdre T. On a la relation

-- = constante.

# Si nous désignons par x^ , y,, z,^ Xa-, y*? ^a ? ^ft 9 Jfc î H les coordonnées du sommet S et des deux points fixes A et B , celles des points Bi , Bg , Bs , où le plan mené par B coupe les arêtes du trièdre seront de la forme

jr, = X^ -H pt^a, ja=j, 4-^^a, Z2 = Z, -f-fx/j, .

jTj = JP, H- V A», j3 =:y, -h V /^a , 33 = 3, -h v/, ^

( aS6 )

rt-

rt«

Oil-

Cil ^