AU CERCLE ET A L'ELLIPSE
Par m. le Docteur Joseph SACCHI.
Soient f ( Aj , A, , . . . , A^^ , . . . , A„ ) Paire d'un polygone inscrit ou circonscrit à un cercle ayant pour [rayon l'unité en fonction des droites h^ qui le déterminent ; /i , /j ,. ••> /jr ,...^ /„ les droites analogues aux susdites et appartenant à un polygone analogue inscrit ou circonscrit à une ellipse ayant les demi-axes principaux a^b '^ 1^, le demidiamètre parallèle à /,. L'aire A de ce dernier polygone est
Les applications sont nombreuses :
I**. L'aire d'un triangle inscrit dans un cercle ayant l'unité pour rayon étant
l'aire d'ttn triangle ibiscrût dans l'ellipse ayanc les demiaxes 'M , i «era
c'est la formule de Mac-Cullagh ; et comme Ton a aussi
ç = ^^(5 — /i,){f — ^j)(^ — ^,) ou
ainsi l'on aura
A = ab ^^(^— r,)(^— ra)(^— Ta) ou
formule qui est due à mon ami le D*^ Brioschi ( Teorica dei determinanti, p. i%\Sopra alcuni teoremi di geometria, Ânnali del Sig. Torlolini, i853).
2°. Pour le triangle circonscrit au cercle , on a
hx -4- /la -H K
par conséquent, pour- le triangle circonscrit à Tellipse on aura
formule plus simple que celle qui a été trouvée par le D*" Brioschi , loco citato.
Ainsi les aires Çi, y, , Çs d'un quadrilatère inscrit, ou circonscrit à un cercle, inscrit et circonscrit simultanément à deux cercles étant
où
et /i , d^ sont les deux diagonales , on aura les aires d'un quadrilatère inscrit, circonscrit dans l'ellipse, inscrit dans r ellipse des demi-axes ah et circonscrit à un autre qui est concentrique et homothétique à la première aiusi représentées
A, = ah s/(t—r,){t^r,)(t^r,)(e--r,), Av == ^ V( rr,y — (r. ^3 - r,r,)\
ou
A3= s/n Tj r, ^4
2 / = r, -4- r, -î- Tj -f- r^.
PROBLEME MALFATTi
(voir t. XII, p. 181).
Dans Feudroit cité , oq a les trois équations
x=z 5sin' (a — ç),
y = fsin'((j — x)> z = 5siu^((i — i|/).
Substituant pour or, ç, ;(, t|/ leurs valeurs, M. Cayley trouve [Quarterly Journal, -déc, 1855, p. 226) :
(s — a)ac /(s — c) bc
]bc
(f — b)ac /(s — c) bc
HZ =1 S
/[s^a){s — b)(s — c) /{s — a)bc
272= \l[s — b)[s — c) — sjs{s '- a)-^- sfbc^ nzxzzz sj(s — c) (s-^ a) — sjs[s — ^) 4- V^' 2j:y= sl[s — a)[s — b) — y/f [s — c) -\- sjab»
<m>amm
SUR LA QOESTMN 3«5
(Toir pave 1S8)!
Par m. LEBëSGUE.
Soient a^b^m entiers , b non carré ; 1°. a — ^è, positif plus petit que i ,
ia — I est le plus grand entier contenu dans P,
a^. sjb — a positif plus petit que i et m pair. 2 A — I est le plus grand entier contenu dans P, 30^ y/j — a positif plus petit que i et m impair. 2 A est le plus grand entier contenu dans P.
2""'"* est la plus haute puissance de 2 qui divise 2 A. C'est le théorème de M. Sj'lvesler avec une condition de plus.
6 = 3, a=i, wî = 2/i, A' — 3B*=2''.
2 A est l'entier immédiatement au-dessus de P et 2"+* est la plus haute puissance de 2 qui le divise.
On trouverait sans peine d'autres théorèmes analogues.
NOTB
fiv les liofli gétnétriques velatifg i i%% ftiiefau de coniqaes.
1 . Le lieu géométrique du pôle d'une droite fixe relativement à un faisceau de coniques circonscrites au même quadrilatère est une conique. En effet, projetant le système de m^ni4èFe que la droite aille à Finfini, les pôles deviennent les centres du faisceau projeté des coniques qui passeront toujours par quatre mêmes points ] op le lieu de ces centres est une conique-, donc, etc.
Remarque. C'est par erreur qu'on lit page 388 du tome IV que ce lieu est une ligne du sixième degré.
Lorsque la droite fixe est une des six cordes communes aux coniques, le lieu cherché devient une droite.
2. L'enveloppe des polaires d'un point fixe relativement à un faisceau de coniques inscrites dans le même quadrilatère est une conique.
Lorsque ce point est un des angles du quadrilatère , la conique se réduit à un point.
3. L'enveloppe des polaires d'un point fixe relativement à un faisceau de coniques circonscrites au même quadrilatère est un point.
i. Le lieu géométrique des pôles d'une droite fixe relativement à uq faisceau de coniques inscrites à un quadrilatère est une droite.
Observation. Lorsque la droite fixe se transporte à l'infini , les pôles deviennent les centres de coniques qui sont ainsi en ligne droite. Théorème de Newton.
NOTI Sar U polaire réciproque d'une conique et f uue suriace an secail iegré.
I. Soient données cette équation rendue homc^ène d'une conique
Ail x] + ^OiiXi^t'-h 2 «13 Xi J?3
+ an x\ + 2a„ Xi «3 -H «33 x\ = o.
— 9 — sont les coordonnées courantes, et Téquation
JP3 J?3
«Il «12 <3^I3
f SSO
rendue homogène de la conique directrice , Féquatioa de la polaire réciproque de la conique (i) est donnée par ce déterminant
dtsf dx^
dff
d(f d(f d<f dxi dxi dx^
-r- est la dérivée de cp relativement à x* • etc., et où
dxi ' '
