Notations. Représentons le§ trpis coordonnées

J* JC jT*

d'un point dans l'espace par — i — » — > ce qui permet de

cc^ JC^ x^

rendre homogènes les équations des surfaces. Quand on dit qu'un point a pour coordonnées Xi , Xj , X3 , 0:4 , il faut

fious-entendre —9 — > — • Dans le résultat final d'une

opération , on fait a:* = 1 ^ on revient alors aux coordon-

( a67 ) nées ordinaires. Les avantages de cette notation consistent dans la forme symétrique des résultats , si favorable à la mémoire , et ensuite dans la facilité d'appliquer aux équations les propriétés des fonctions homogènes.

Soit /

l'équation rendue homogène d'une surface de degré n , de sorte que u est une fonction de Xi^ x^j x^^ X4 , coordonnées de la surface dont chaque terme est de degré n^ U est la même fonction en Xi , Xj , Xs , X4 coordonnées d'un point quelconque de l'espace.

u^f\ t*^f\ uf\ "/^ sont les dérivées d'ordre p de la fonction u, prises respectivement par rapport à x'i , x^^

Xs,x,', de même ujf^^ Ux,\ Uxv ^x?-

2. Plans polaires, u = o étant une équation homogène d'une surface de degré n , l'équation

est l'équation du plan polaire d'ordre p du point Xi , Xj , Xg , X4 désigné comme pôle -, oti , jCj , Xg , x^ sont les coordonnées courantes du plan.

3. Théorème. Étant données trois surfaces de degré n, Ui, Ut, /e lieu du pôle dont les trois plans polaires correspondants d'ordre ]^ passent par la même droite est une surface de degré n H- ni -f- «s — 3/?.

Démonstration. Soient

uz=z o réquation de la surface de degré n , ç=z o — /«i,

IV zz: o — «a,

on aura

équation du plan polaire relative à m = o;

XyV

ip)

équation du plan polaire relative à f^ = o;

équation du plan polaire relative à iv = o.

Si ces trois plans passent par la même droite y les plans menés parallèlement par l'origine passent aussi par une même droite, et vice versa. Pour avoir les équations de ces plans parallèles , il suffit de supprimer les termes en X4 , et alors , parce que les plans passent par une même droite , le déterminant suivant doit être nul :

vie»

vSc'

wi';'

wSC

Telle est l'équation du lieu cherché 5 or U^ est de degré

n — p, Vx de degré rii — p , Wx de degré w , — p\ donc Téquation du lieu est de degré n + rii -\- n^ — 3^.

Corollaire, 1°. Si w = ni = Wj, le degré du lieu est 3 (n — p),

2°. Si w = /îj = «2 = 2 et /? =: I , le lieu est du troisième degré.

Remarque. Le plan polaire d'ordre i est le lieu des centres harmoniques relatifs aux sécantes qui passent par le pôle [Nou\^elles Annales, t. IX , p. 347).

4. Théorème. Etant données quatre surfaces de degré n , Uj , n, , Ds , /e heu du pôle dont les quatre plans po^

( =»69 ) laires d 'ordre p par rapport à ces surfaces passent par un même point est une surface et du degré

« + «1 4- «î + /Î3 — 4/^* Démonstration, Soient

les équations des quatre surfaces de degrés respectifs n , /il , n, , /ij ^ pour que les quatre plans polaires d'ordre p passent par le même point, il faut établir la relation

„(;>) <.p) W W *x, ^x, "fx, ^x.