Si « — /Il — /ït — /Î8 — a et p — I, le degré est

SDR L'HEXAGONE INSGRIPTIBLE DANS UNE CONIQUE

Et solution de U question 369

(TOlr page SSl) ;

D'après M. BRIOSCHI.

Soit rhexagone 123456.

r=r G équation du côté 12 * = o — 34

( ^lo)

^^ ^ af + r = o équation du côté aS r4-ytf-|-pr=o — 45

yr-^' s -i-at = o — 61

Si ces relations subsistent, l'hexagone est inscriptible dans la conique ayant pour équation

. 4. ^ ^a 4- i ) .r -^ (p + 1) f r + (y ^- i ) rx = 0 ;

les équations des diagonales sont

{l3) apr-htf-f-af =0,

(24) r4-apiH-p^=o,

(35) pr-i- p754-^ = 0;

(i4) ar-h pf-*-apr = o,

(aS) ar + ay* + yf = o,

(36) PyrH- p*4-7r = o;

Soient

A rmterseotion des €Ôtés (34) et (56),

B — (12) et (56),

C — (34) et (12);

le point A étant déteraûné par les équations

^ = 0, r = o, l'équation de la droite A 1 est de la forme

mais le point (i) est déterminé par les équations

(l6) yr-i- s -i- at = o;

par conséquent,

on aura

aussi

(Ai)

J + OLt=Z o,

fH-pr;=o,

/•-i-pr — o,

Soient les trois droites

La première droite passe par le point À et rencontre BC en fl.

La deuxième droite passe par le point B et rencontre AC en b.

La troisième droite passe par le point C et rencontre AB en C.

Et les trois droites se coupent en un même point.

On en déduit que les cinq droites :

AB, AC, Aa, Ai, A 2 sont en învolution, Ka est la droite double.

BC, BA, Bi, B3, B 4 sont en învolution, Biestla droite double.

CA, CB, Ce, C5, C6 sont en involuiion , Ce e^ la droite douUe*

Si Ton suppose a/3y = i ,

Les trois équations ci-dessus (i3),(35),(i5) se réduisent à la première, savoir

c'est-à-dire les points i , 3 , 5 sont sur la même droite donnée par Féquation (i)*, de même les points 2, 4^ ^

( ^7^ ) sont sur la même droite donnée par réquation

(2) r + apj-Hpf=o,

de sorte que Fhexagone est inscrit entre les deux droites (i) et (2) , et réquation de la conique se réduit au produit (i) (2) = 0; les équations (i) et (2) sont celles des deux droites R et S du problème Cayley*