REMARQUE SUR LA NOTE DE H. ALLE6RET
(Toir page 186);
Par m. Ange LE TAUNÉAC.
Les équations
peuvent être résolues très-aisément comme il sait.
Eu représentant par s la valeur commune des quantités
Xi-^ aiXi , Xi -h «2 OTs , . . . , on a
X^ "T" ûf 4 X4 S y
Xi +^5X5 = S,
Ajoutons membre à membre les équations, après les avoir multipliés respectivement par
nous aurons
Ainsi la valeur de x^ est connue. Un simple changement de lettre donnera ensuite les valeurs des autres inconnues.
NOTE
Sir fielqnes fornoles propres à la déterminatioD des trois indices priDcipaox dans les cristaux biréfringenls ;
Par m. de SENARMONT.
§ i. Lorsqu'il s'agit dé déterminer les trois indices principaux d'un cristal biréfringent, on procède généralement de la manière suivante :
On taille trois prismes de façon que leurs arêtes soient parallèles aux trois axes principaux A , B , C d'élasticité optique. Avec chacun de ces prismes, on détermine facilement rindice du rayon polarisé perpendiculairement à Farète réfringente; ce rayon obéit en effet aux loifi.de Descartes, et si l'on observe le spectre correspondant, dans I21 position du minimum de déviation, on peut appliquer la formule qui conviendrait à un milieu monoréfringent.
L'indice ainsi déterminé est inversement proportionnel a la racine carrée de l'élasticité optique dans le sens de Tarête réfringente du prisme.
§ 2. Avec cbacun de ces prismes , on peut encore observer un second spectre correspondant au rayon polarisé parallèlement à l'arête réfringente. Ce rayon n'obéit pas aux lois de Descartes, sa déviation est néanmoins susceptible d'un minimum. Or les lois connues de la double réfraction permettent d'établir une relation entre cette déviation minimum, l'angle du prisme, l'orientation de ses faces dans le cristal et les élasticités optiques suivant les deux axes principaux perpendiculaires k l'arête réfringente.
Ann, de Mathémat,. t. XVI (Juillet 185;. > 18
( 274 ) Soient a?^ &', c^ les élasticités optiques parallèlement aux axes principaux A , B , C ; soient a , (3 , y les trois indices, de sorte que
Soient A , B , G les angles des trois prismes dont les arêtes réfringentes sont respectivement parallèles aux axes principaux A , B , C.
Soient A'o, A'o, ùk'^ les déviations minima des rayons qui ont subi la réfraction ordinaire dans les trois prismes, A'« , ùHe , Ae les déviations minima des rayons qui ont subi la réfraction extraordinaire^ on posera, pour abréger,
Soient 6', 6'', ^"' les angles compris entre la bissectrice de F angle réfringent du prisme et l'un des deux axes d'élasticité optique perpendiculaires à Farète réfringente. (On comptera ces angles de façon que 6 = o ou 6 = 90®, selon que la bissextrice coïncide avec l'axe correspondant au coefficient d'élasticité écrit le premier au le second dans les formules, )
On a les relations suivantes entre les coeiBcienlA d'élasticité et les données expérimentales obtenues avec chacun des trois prismes.
Premièrement, Pour les rayons polarisés normalement aux arêtes réfringentes et qui obéissent aux lois de Descartes :
sin- sin- sm —
sm —^ sm — ^ sin — ^
Secondement, Pour les rayons polarisés parallèlement
ros'ô
tù"*
( ^75 ) aux arêtes réfringentes et qui obéissent aux lois de la réfraction extraordinaire :
f sin^ b^ sin'— j ( ces' c" ces» — j ces' 0'
I cos* ^»cos=»— j ( sin» c» sin» — 1 sin^ G' = o,
( sin» c»sin»— 1 | cos' «'ces»— | cos'ô"
(ces'- — c»co8»--^ j ( sin' fl^sin^— 1 sin'Ô'' = o,
I sin' a» sin'— | ( ces'- — b^ ces'— ^ 1
H- I CCS' a} CCS' —Il sin» b- sin^— j sin» 0'*' = o .
Deux prismes différents suffisent donc généralement pour déterminer les trois coefficients d'élasticité (ou en d'autres termes les trois indices principaux)-, et même pour fournir, en plus, une relation de vérification entre ces coefficients.
Si le cristal était à un seul axe optique, deux des trois quantités a , i , c deviendraient égales entre elles.
§ 3. Les formules (M) se déduisent par les procèdes ordinaires des lois de Descartes. Quant aux formules (N), on peut les établir de la manière suivante :
Soit (^^. i) le prisme, d'angle A , dont l'arête réfringente est parallèle à Taxe principal A . Les deux autres axes principaux B et C sont normaux à l'arête réfringente.
Soient 61, BE des droites parallèles à l'axe principal B; NI, NoE les normales aux faces réfringentes-, SI, ER les directions des normales aux ondes planes extérieures,
( »76J incidente et émergente ; lE la direction de la normale k l'onde plane intérieure réfractée.
FiG 1.
Désignons par op T angle que cette dernière normale fait avec l'axe principal B, par z, /^ les angles d'incidence SIN , No ER ; par r, r^ , les angles EIN , lEN,, 5 par ^ , /ix, les angles BIN , BEN;.
On a les relations
Po -I- P = A .
On posera
de sorte qu'on a
To — r= B — 2ij>.
Lorsqu'on prend pour unité la vitesse de propagation normale des ondes lumineuses dans le milieu extérieur au prisme, et que Ton désigne par (^ la même vitesse intérieure au milieu cristallisé , on a généralement
sin I I
sin A- 1^
( ^77 ) Mais quand la direction de cette dernière vitesse est perpendiculaire à Taxe principal A et fait un angle <f avec Taxe principal B, on a, par la théorie connue de la double réfraction,
u r= ^b^ sin'y H- c' ces* f ,
de sorte que pour l'onde transmise au travers du prisme, on a à Tincidence et à Témergence
, . . . sinr . . sinro
(n) smi = -^ smio=
SJb^ sin* <p H- c' ces' ç - yb^ sin' <p + c^ cos» <p
Si l'on retranche et qu'on ajoute successivement ces équations membre à membre,
P V^è?sin^9 H- c^ cos*<f
ces sm = -
ces
sin — ces cos
sin - V ^' sin*f -h c» ces' ç
Carrant et ajoutant membre à membre ,
sin' - ces* - ces' h cos' - sm'- sin'-
cos(p\ > — c' sm' - ces' -
-+- smo sm - cos - I sin' - cos' ces' — sin' -
sm' - sm' - cos' H cos' ~ cos' ~ sin' -
sm ç I -+- sin f { \ — à' sin' - cos' -
-4- cos<p sm - cos - I sm' - cos' cos' - sin'-
( 178 ) Mais dans le cas du minimum de déviation
df^ d^
La dérivée par rapport à f du premier membre de l'équation précédente est nulle, donc
sm* - cos^- cos' — h CCS* - sm* - sm* —
sin © \ \ — c^ sm^ — cos* -
-h sm 9 sin - cos
- sin' - 008* cos"- sln' — )
sin' - sm* - cos* — h cos* - cos*— sin*-
smoi
— cosy^ \ — ^ sm*- cos*-
-f- cos® sm - cos - ( sm* - cos? tos*- sm*— }
En vertu des équations (4) et (5), il faut qu'on ait simultanément
cos© sm - cos - ( sm* - cos* cos* — sm*- |
= sm^ I
o*sm*- cos'-
sm* - sm* - cos* — h cos* - cos* — cos* -
sm © sin - cos - sm' - cos* cos* - sm*- 1
c*sm*- cos*-
= cos© I
— sm' - cos' -cos' — h cos* -sm*- sm*-
( ^79 ) En multipliant entre elles les équations (6) membre à membre,
6'c'sin'-- cos'-
■+• cos' - sm' - sin'-
c' ( sin' - sm' - cos
-i-sin'- cos^ - =o.
' — 4- cos^ -cos*- sm'- )
Si Ton désigne par 9 l'angle que la bissectrice du prisme
fait avec l'axe principal 6, on trouvera facilement sur la
figure
donc
p4-go — -=0, fto-hgo» — - = i8o« — Ô,
Po — p = B = i8o° — 0 , - = 90° — 0.
L'équation précédente devient alors
b^c^ sm'- cos'~ 2 2
— ^* ( sin'- cos*- sin'0 -\- ces' - sin*- cos'0 \ 2 2 22
cos*0 -h ces* - sin*- 8in'0 2 2
?* ( sin' - cos* - \ il 2
-f- sm* - cos* - = o, 2 2
ou , sous une autre forme ,
sin* b^ sin'- ) ( cos* c* cos-- ) ces' 0
H- ( cos* A* cos*- J ( sin- f.-' sin^ - j siii= 0 ~ o.
( ^8o ) En divisant les équations (6) membre à membre, on trouve
c'sin'- cos' Isin'- cos'- sin'ô -4- ces'— sin*- cos'6
^'sin=*- cos' ( sin' -cos*~ cos'0 + cos*— sin'- sin'O)
sin'O ces'- c^ sm' siû^ - 1 + ces' 9 sm'— ( c* cos* co»*-
sin'O sin^- ( b^ ces' ces'- | + ces' ô ces'- f &'sin' cos'-
Lorsque la bissectrice de Tangle du prisme coïncide avec un des axes principaux, la formule précédente se simplifie. Elle se réduit, selon que6 = o ou que 9 = 90®, à
( sm^ e>' sm' - ] I cos^ c^ ces* - j = o
ou a
( sin' c' sin' - ces' o'cos' —1=0.
Les premiers facteurs égalés de zéro déterminent b ou c et donnent
tang(p = QO ou tangy = o.
Quant aux seconds facteurs ^ ici, comme dans la recherche du minimum de déviation, avec les conditions propres aux milieux monoréfringents , ils répondraient à une question différente de celle qu'il s'agît de résoudre.
§ 4. On trouve des relations encore plus simples lorsque Ton observe le spectre émergent, non plus en plaçant le prisme dans la position du minimum de déviation, mais dans une situation telle, que le rayon incident ren-^ roîitrc normalement la face d'entrée.
{ 28i ) La ligne SI est normale eu même temps à Tonde plane extérieure incidente et à la face du prisme.
FlO 2.
ER est la normale à l'onde plane extérieure émergente; lE, prolongement de SI, est la normale à Tonde plane intérieure réfractée.
Si donc on conserve les mêmes notations qu'au § 3 ^ on trouve
de sorte que les équations (2) deviennent
b^sin^u. ■+• c'cos'jx = -: — — •
*^ sm'D
Lorsque la face d'entrée est parallèle ou perpendicu laire à Taxe principal B,
,, sin*A sin*A
sm'D sm^D
§ 5. On peut étendre les mêmes procédés d'observation et des formules analogues aux cristaux à un seul axe optique , même lorsque Tarête réfringente du pr\sme est dirigée d'une manière quelconque.
Il arrive alors que le rayon incident et le rayon émergent extraordinaire ne sont pas dans un même plan, mais restent tous deux parallèles à la section droite du prisme. Les ondes pianos incidentes réfractée et émergente se
( î^82 ) coupent en efïet toujours parallèlement à Tarète réfringente; de sorte que la i.'ormale lE (fig* i) a ronde plane réfractée est comprise dans le plan de la section droite.
Ce même plan contient de plus l'un des axes principaux B, en nombre infini, tous égaux entre eux et perpendiculaires à Taxe optique Â. Soient 61, BE des parallèles à cet axe d'élasticité B. En conservant les notations précédentes, et en désignant en outre par tt Tinclinaison de l'axe optique A sur l'arête réfringente, il est facile de voir que la vitesse de propagation normale de l'onde plane extraordinaire réfractée sera donnée par l'équation
p2 = [b^ sin' TT -h a' ces* tt') sin' y -f- a' cos* y = ** sin^y -f- «• cos'f .
On a donc comme précédemment
sinr . , . sinr, smi=z— , sin^fo= .
V'^* sin* ® H- û^ cos' y yk^ sin^ f -h a' cos* 7
Le calcul s'achèvera de la même manière, et Ton aura, pour le rayon extraordinaire, dans le cas du minimum de déviation ,
sm'-
— ^' sin' - ) ( cos' à^ ces* - | cos^ ô
-\- ( cos^ /' cos^ - 1 ( sin* *i'sin* - ) sin* 0 = o ,
ou , sous une autre forme ,
a} A^ sm' - cos*- 2 2
