III

A„ A„ A„ (/l — I) Art—i

en désignant par A;;*^* le nombre des arrangements de (a/ -f- 1) lettres n à n.

PROPRIÉTÉS FOCALES DES SURFACES DU DEUXIÈME ORDRE Il APRÈ^ M. HELLERMANN (*)

(voir t. XVII, p. 542);

Par m. DEWULF.

Je conserve la notation de M. Hellermann.

Par tout point d'un ellipsoïde passent deux lignes de courbure et deux plans osculateurs à ces lignes. Les deux lignes de courbure sont déterminées par les deux hyperboloïdes homofocaux à l'ellipsoïde qui passent par le point considéré, ei les plans osculateurs aux lignes de courbure sont les plans tangents aux hyperboloïdes.

Soient donc

Téquation de l'ellipsoïde donné , (xi ji z^) un point M de cette surface.

(*) Ces admirables propriétés appartiennent à M. Valson , professeur de Faculté à Grenoble; il les a énoncées et démontrées dans une thèse remarquable soutenue à Paris en i855; nous y reviendrons.

(47) En remplaçant dans Téquation (i) a', i*, c' par a? — a*, i* — ?/', c* — u*5 u ayant la valeur de l'une des deux racines de Téquation

nous aurons les équations des deux hyperboloïdes homofocaux qui passent par le point M. Désignons ces deux racines par wj et i/f .

Dans les équations des plans tangents à ces deux hyperboloïdes au point M, faisons j' == o et .z = o, et désignons les distances OP et OQ par a et jS -, nous aurons

a» __ ul a} — u"

d'où

Développons en simplifiant l'équation (2)

M* — (flr'-f- ^'4- c»— X»— >•'— 2») m' -H ( û» b^-h rt*c'-h A'c» ^

^(a'-hb')z' ' ]

Tirant de là u^ -H u\ et u^ u\ et substituant dans Téquation (3), il vient, après simplification, *

Désignons par «i et /Sj , a, et ^j les longueurs qui correspondent à a et j3 sur les axes des y et des z , nous trouverons, par de simples changements de lettres,

et

Le produit a(3 est indépeudant de xyz ; donc les points P et Q marquent sur Taxe a des divisions en învolution dont 0 est le point central. Les points doubles de ces deux séries sont réels et sont situés de part et d'autre du

centre a la distance ^ ■- :• Un sait que ces

points doubles divisent harmoniquement les segments déterminés par deux points correspondants.

«1 , (3i étant négatif, les points doubles sont imaginaires sur Taxe moyen b\ ils sont réels sur le petit axe c.

Si par les points F et F' et par l'intersection de deux plans osculateurs on mène deux plans, les angles qu'ils forment entre eux sont partagés en parties égales par les plans osculateurs.

Cela résulte de la théorie des faisceaux en involutîon. Dans un faisceau de plans en involution , il n'existe que deux plans correspondants rectangulaires, et ces plans sont les plans bissecteurs des angles des plans doubles.

Les norjnales à la surface menées par les ombilics coupent évidemment le grand axe aux points F et F'.

Les coordonnées des ombilics sont

et le rayon des sphères focales est