On pourra dire, plus simplement

Il n*y a pas intersection, si V > o ; Il y a intersection y si V <[ o ;

Il y a tangence , si V =r o ;

pourvu que, dans le mol tangence .^ on comprenne Tasymptotisme et la coïncidence.

Remauque. Lorsque la droite est tangente, il est facile d'obtenir les coordonnées du point de contact. Si l'on se

reporte, en eflet, aux équations (8) et (9), et qu'on y introduise Thypothèse V = o, on trouve

, , ^V dy dy dV

(ao) ^1 = 3 — 1 •^« = 3 — i -^3 = 3 — 9 ^4 = 3 — dati ufflr,, rf€/o da^^

On voit que, lorsque - — est nul, le point de contact

est à Tinfini.

La suite prochainement.

MOTE DE M. LEBESGUE.

Tromper un triangle dont les côtés et la surface for^ ment une équidifférence en nombres rationnels x , x -hy , x4-2y, x4-3y.

La question admet-elle des solutions en nombres entiers ?

L'équation du problème est

.s.= y/îlf±^<iiV)(x±.)(i^)

ou bien

^Z(x + Zy)[x-y),

Posant y =z xz^

Soit

(/7, q étant premiers entre eux), il vient

p \p'-^ir) ^ p \p'-^^r)' '

Comme

on en déduit facilement que la seule solution en nonibres entiers est donnée par p = 9 = i , d'où x = 3 , y = 1, Celte solution a été donnée t. XVII, p. SpS.

(Communiquées par M. Vannson)

459. Aui deux extrémiiés d'une droite AB on élève deux perpendiculaires AC, BD de longueurs données; puis on insère entre AC, BD un certain nombre p — 1 de moyennes géométriques, et on les dispose entre AC et BD parallèlement à ces deux lignes et à égale dislance les unes des autres : en unissant par des droites les extrémités m, m/, m'^y etc., de ces parallèles, il en résulte un polygone AC mm' m''... DB, qui devient (à là limite p =00 ) un trapèze curviligne : trouver la surface de ce trapèze.

460. On donne un triangle ABC, et deux points X, Y en Ugne droite avec le sommet A; on joint les points X , Y avec un point quelconque O de BC par les droites OX, OY qui coupent AB, AC en des points M , N : démontrer que la dix>ite MN passe par un point fixe quel que soit le point O.

(46) 4f61 . Démontrer que la série I I

est converffente et à pour limite -. r „ — ,

Ce qui donne la formule