Soient

tang «p = a -h èi , tangip = fl — bi\

on a

tang(f -^-4') =

Lorsque a = o , tang (y + ï|/) = o

^bi

=r réelle.

tang(ç — ^1;) =

-H fl' 4- ^2 '

alors

et, demèrae,

fl' 4- A^ = I ,

taDg^=:i =: — -r>

i-htang>=o= --— ;

COS'' <f

ces (p == QO siD f = 00 .

deux droites imaginaires identiques et satisfaisant pourtant à la condition de la perpendicularité aa'H- i = o,

t3 / ; o^ ' + ^°g4^ ^(i4-tang>p)(i4-itang^>) bl? y; j — /tang^J; i-f-tang*t|/

= (sin4» 4-1 cos^l*) (cos>|» -f- 1 sin4') = ' == tangf ;

donc la droite imaginaire qui a pour équation j^ = x/, fait avec une droite quelconque un angle dont la tangente est constamment égale à i; résultat purement analytique: on suppose les axes rectangulaires.

4-. Étant donnée une courbe plane C„ , si parmi les n(n — i) tangentes qu'on peut mener d'un point x',/ situé dans le plan de la courbe, il s'en trouve au moins deux faisant avec Taxe des x , et par conséquent avec une droite quelconque, des angles dont les tangentes sont±'f ce point est un foyer de la courbe C„.

( 4oi )

C'est la définition qu'on doit à M. Plùcker [Nouvelles Annales^ t. XI, p. 433; t. Xn,p. ni^),

5. L'équation d'une courbe est satisfaite par une infinité de valeurs imaginaires des coordonnées; c'est dans ce sens qu'on dit qu'une courbe passe par une infinité de points imaginaireSy et de même une courbe a une infinité de tangentes imaginaires y et sur chaque tangente imaginaire on peut trouver un point réel , mais un seul , car deux donneraient une tangente réelle. A toute tangente imaginaire correspond un point imaginaire sur la polaire réciproque, et, vice versât à tout point imaginaire de la polaire réciproque correspond une tangente imaginaire de la courbe donnée. La recherche d'un foyer se ramène donc à trouver sur la polaire réciproque un point imaginaire dont la polaire , par rapport à la conique directrice , soit de la forme a: -f- ly = 9 , et si nous parvenons à déterminer un point réel sur cette tangente imaginaire , ce point réel est un foyer; conformément à la définition Plûcker, on suppose les axes rectangulaires, afin que i soit la tangente de la droite avec l'axe des x.