Soit donc

l'équation d'une courbe de degré n et de classe p, axes rectangulaires 5 et coordonnées trîlitères x^y^z. Prenons pour conique directrice le cercle imaginaire

et soit

la polaire réciproque de U; elle sera de degré p et de classe n.

Prenons sur cette ligne le point x\ y\ z^\ la polaire de ce point, relativement au cercle, a pour équation

Knn, de Mathémat,, t. XVUl. (Novembre iSSg.) a6

( 4oa ) Faisons

x'=i, / = !; l'équation

ttsso

devient une équation en z de degré p* Soit x^ +/21 une racine de cejte équation où Xy, et y^ sont des quantités réelles \ la polaire réciproque passe donc par le point imaginaire «', y\ a:|4- £^4 ,et la polaire de ce point est

droite imaginaire tangente à la courbe U = o^ et dont le coefficient angulaire est L

L'équation de cette polaire, ayant égard aux valeurs x\y^^ est satisfaite en prenant

a: = — «,, jr=:— /,, 2 = 1;

cette droite imaginaire passe donc par le point réel rti , jr^ , i; ce point est donc un foyer. Pour avoir les valeurs OTi, jTj, on remplace or, y, z par i, i, XiH-yi dans M = o, et Péquation se partage en deux autres équations en a:i, j^i, à coefficients réels, chacune de degré/? : il y a donc au plus p' foyers.

7. Les équations des tangentes imaginaires qui passent par les deux foyers sont donc

j? — a?j H- «(y — jr,) = o, « — or, — i ( / — jr,) = o.

Décrivons un cercle quelconque ayant pour équation

(ar — «,)»-f.{j — r.)'H-F = i;

les deux asymptotes imaginaires de ce cercle ont pour équations

ce cercle passe donc par deux points imaginaires situés à l'infini; désignons-les par I', l'^ Les tangentes menées de ces points à la courbe U , sont précisément des tangentes focales; p de ces tangentes partent de F et p autres de I'^ et pas davantage , puisque la courbe U est de la classe p . Les intersections de ces deux faisceaux donnent les p' foyers : ainsi chaque rayon du faisceau I' coupe le faisceau l'^en p points, mais dont un seul est réel; c'est celui qui est donné par Tintersectîon de deux rayons X — Xi±ii{y — yi) = o. H n'y a donc que p foyers réels et jK>* — ^ (nombre pair) foyers imaginaires. Le nombre de foyers réels est donc égal au nombre qui désigne la classe de la courbe.