DISCUSSION D UN PROBLÈME RELATIF A LA CONSTRUCTION DES CONIQUES

Par m. E. DE JONQUIÈRES.

Dans le tome XVI des Nouvelles Annales, pages 1 16 et suivantes, j'ai fait quelques applications des théories de la Géométrie supérieure à la construction des coniques déterminées par cinq conditions (points ou tangentes). Quoique les solutions que j'ai développées soient trèssimples, il en est deux qui paraissent ne pas avoir été parfaitement comprises par tous les lecteurs*, je veux parler de celles où il s'agit de construire une conique qui passe par trois points et qui touche deux droites données , et de sa corrélative par voie de dualité , où les données sont trois tangentes et deux points*

Je vais faire voir que les difficultés qu'on a cru remarquer n'existent pas, et que les solutions que j'ai données pour ces deux cas sont aussi complètes que les autres.

Dans le premier cas , où les données sont trois points a, &, c et deux tangentes , la solution que j'ai indiquée consiste à déterminer à la fois deux autres points de la conique, savoir, les points de contact des tangentes données , en construisant la corde de contact qui les joint. A cet effet, sur le côté ah du triangle inscrit donné abc^ on trouve un point i appartenant à cette corde de contact, et pareillement un point 3 sur le côté hc. Or le point i ne s'obtient pas isolément sur ab •, car c'est un des deux poîntS'doubles d'une involution dont le segment al fait partie, et l'autre point-double a de cette involution satisfait également à la question. Par la même raison , le point

(4o5 ) 3 s'obtient, sur ic, en même temps qu'un autre point 4, qui jouit des mêmes propriétés que lui. Donc, au lieu d*une corde de contact , on en trouve quatre qui sont : i3, 14, 23, 24, et qui fournissent quatre solutions distinctes du problème proposé.

Actuellement , si Ton considère le côté ca , on y trouve de même deux points 5 et 6, par chacun desquels doit passer une des cordes de contact cherchées. Donc si les points i,2;3,49S96, conjugués deux à deux, ne présentaient aucune particularité dans leurs situations re-, latives, la question admettrait douze solutions, puisque, indépendamment des quatre cordes de contact déjà trouvées, on aurait encore les huit suivantes , savoir : i5, 16, 25, 26, 35, 36, 4S9 46«

Mais il est aisé de voir que les six points i, 2, 3, 4) ^9 6 sont situés, trois à trois, sur quatre droites , c'est-à-dire qu'ils sont les quatre sommets et les deux points de concours des côtés opposés d'un même quadrilatère, et qu'ainsi ils ne donnent lieu qu'à quatre droites distinctes.

En effet, les points 1,2 divisent harmoniquement le segment ai, puisqu'ils sont les points-doubles d'une învolution dont ce segment fait partie.

Pareillement, les points 3, 4 divisent harmonîquftment Je, et les|>oints 5, 6 divisent harmoniquement ca. Donc le théorème 375 de la Géométrie supérieure trouve ici son application ; ce qui démontre l'assertion émise cidessus.

Une difficulté analogue se présente dans la question corrélative , où les données sont trois tangentes et deux points ah ; et au premier abord il semble , comme dans le problème précédent, qu'il y ait douze solutions^ mais les six droites auxiliaires (corrélatives des six points i, 2,3,49^96), qui conduisent ici à la solution, sont les quatre côtés et les deux diagonales d'un même quadrila^^

(4o6 ) tère ; elles se coupent donc , trois à trois , en quatre points, et ces points sont les pôles cherchés de la corde inscrite ab , relatifs aux quatre coniques qui seules satisfont à la question proposée. Je laisse au lecteur le soin facile de trouver comment cette conclusion résulte du théorème373 de la Géométrie supérieure, page 277.

Ainsi, chacun de ces deux problèmes n'admet pas d'autre solution que les quatre que j'ai mentionnées dans l'article précité des Nouvelles Annales,

( TOU p. tel } ;

Pae m. e. de JONQUIÈRES.

Dans l'article dont il s'agit , j'ai dit (page a63 , ligne 9), que la courbe du troisième ordre, lieu des points de rencontre des normales menées à une conique par les deux points oÎL une transversale , issue d^un point fixe y coupe cette conique, n'a qu'une asymptote réelle. Cette assertion est trop générale. Quand la conique donnée est une hyperbole, les trois asymptotes sont réelles.

En effet menons , par le point fixe , une parallèle à une asymptote de la conique, et soit a le point où elle ren* contre cette courbe à distance finie. La normale au point situé à rin6ni est la droite de l'infini elle-même^ donc le point de rencontre de cette normale avec la normale en a y est situé à l'infini sur cette dernière droite, et il appartient à la courbe du troisième ordre. Pareillement, le point situé à Tinfini sur la normale menée à la conique par le point b , où cette courbe est rencontrée par une parallèle à la seconde asymptote de la conique is«ue do point fixe, appartient à la courbe du troisième ordre*

( 4o7 ) Donc les normales à la conique axQf. points a et b déterminent les directions des deux asymptotes de la courbe du troisième ordre, autres que celle , toujours réelle, que j'avais mentionnée seule (*). Si la conique est une ellipse, une seule asymptote est réelle, comme je Tai dit. Enfin, si c'est une parabole, auquel cas la courbe du troisième ordre se compose d^une conique et d'une droite, cette droite représente à elle seule la direction de l'asymptote toujours réelle du cas général , et celles des deux autres asymptotes qui sont alors coïncidentes*, d'où l'on peut conclure que cette conique est elle-même une parabole dont l'axe focal est parallèle à la droite dont il s'agit.

APPLICATION DE U NOli\ELLB ANALYSE AUX SURFACES DU SECOND ORDRE

(TOir p. 89);

Par m. PAINVIN,

Docteur es Sciences.