Si — ï — % -^ représentent les coordonnées d'un

X^ JC^ x^

point situé sur la surface dont Péquation est

(1) «(jr,, «a, X3, Xi)=zOy

on sait que l'équation du plan tangent en ce point est

(2) Xi«i H- X,ii,H- X8«3 -H X4«4 = o,

—1» rr-% rp-* désignant les coordonnées d'un point quel-

conque de ce plan , et

39, Lorsque l'équation (i) appartient à une surface conique^ le plan tatigent jouit de la propriété caractéristique de passer constamment par un point fixe. Cette propriété sera traduite par l'identité suivante :

(4) «iMi -H «»«»-♦- as «s -f- «4^4 = 0,

dans laquelle a^^ a^^ «s , ai, sont des constantes.

En différentiant cette identité successivement par rapport à Xi , ocs ^ Xs , X4 , on en conclut

a, Wi, 4- «a Mai -f- «3 «si 4- a* «4, = O, a, w,j-|-a,a2a*f-a3tt32-4- a4M42 = o,

«1 ttl3 -f- «î «J3 4- «3 «33 -h «4 «43 = O, a, 0,4 4- «3 Wa« 4- «3 «34 4- «4 «44 = Oy

après avoir posé

(6) Ur,, = «,,r :

dXr dXg dXg dxr

La simultanéité des quatre équations (5) entraine comme conséquence immédiate

Mil «31 Mai M41 «13 Un ttss 2^42

II,, «23 lias «4»

ce déterminant est ce qu'on appelle le Hessien de la fonction u ^ je le désignerai désormais par H^. Donc , si l ^équation

m(xi, j:,,x,,ar4)=:o

représente une surface conique, le Hessien de lafonction u est identiquement nul»

60. Il faut maintenant établir la réciproque de cette proposition.

La formule

àtlr,,;

dBu

dBu

dB,

^rf«„.^,.,..:

~dUr„

dur...

conduit

à l'identité

du..

dBu du... ■

(dBu

~ \dUr.,

par suite de l'hypothèse H„ = o.

Mais les fonctions -r— ^ sont toutes du même degré : et dur,s

comme l'identité (9) exige que tous les diviseurs linéaires

1 uHu • . s % p , uQu

ae -- — appartiennent aussi a la fonction -; — ? nous en

(4io)

conclurons

3 — ^= ^ -; — ' dEu , dEu

k et Aj désignant des constantes.

On déduit de ces dernières relations

dEu

t \ dUr.

\^i) --7t=r- = constante.

duZ,

En donnant à s^ la valeur 4? et en faisant successivement 5 = 1, 2, 3, on obtient enfin

dEu __ «1 ^Hu

dEu a» ^Hn

Les quantités -i, — , — sont des constantes. a« «4 «4

Or l'homogénéité de la fonction u et de ses dérivées

conduit aux identités

(/w— l)a, ==^,w,, -H ^a «n -I- ^3 «13 H- ^4 ff 14 , (/W — 1 J «3 = OTi «3, -f- Xa tta. H- jTa W33 H- X4 U^ ,

, (/W l) l^ = X, «4, -f- X2 «42 -+- JTs «43 •+• ^4 «44 >

d'où Ton déduit

H, dEu dEu dEu dEu

m I dUt^r ««2,r ««S.r ««4 r

(4ii)

Si Ton remarque que H^ est nul , par hypothèse , et qu'on ait égard aux équations (la), cette identité prendra la forme suivante

a, tf I 4- a» »2 -H «3 «s 4- «4 «4 = o.

Mais cette relation exprime que le plan tangent à la

surface u= o passe par le point fixe -^> — ? ~5 donc l'e-

/juation

appartient à une surface conique. c. q. f. n.

Les coordonnées ~> ~S — du sommet sont données par

les équations

f dBu a, dUi^r

OL, dHu

dU^,r

rfH„

du,,r