Lorsque l'équation
a (a:,, Xj, x,, 0:4)= o
représente une surface cylindrique , le plan tangent jouit de la propriété d'être constamment parallèle à une même droite, propriété qui sera traduite par l'identité suivante
(l5) a, tt, -f-aattî -f- a3««3 = o,
^19 (X,, cTs désignant des constantes.
Elii diflférentiant cette identité successivement par rapport à Xi^XtjX^y x^^ on obtient
a, Un + «2 «ai -h «3 «31 = o , (i6)
a, «„ + «j «,3 + as «33 = G,
Prenant ces équations trois à trois , on en conclut les identités
Or
= 0 - — =o, —-=0, -— -=0. au^^ ' diiti du^ duti
H« = «4, h «4» -, h «43 ^ «4* ir-î
dUii du^i aUii dUii
donc on a , en vertu des relations précédentes ,
ea=o.
Ainsi , lorsque l* équation
a(x,, x„ a?3, a?4) = o représente une surface cylindrique^ on a nécessairement
c'est-à-dire que le Hessien de la fonction u et la dérivée du Hessien par rapport à U44 sont identiquement nuls.
62. Réciproquement , si le Hessien de la fonction u et la dériifée du Hessien par rapport à U44 sont identiquement nuls, r équation
«(x,, j:,, X3, jr4) = o représente une surface cylindrique.
{4i3) De la formule
^ ' ' " dUr.r du,^, dUr,r dUs,s \ dUr,, )
on conclut d'abord
Hu=o;
puisque
mais on a aussi
donc
du^^r dUr,i
En raisonnant comme dans la réciproque précédente , on obtiendra les identités
c?a,,r ~" «3 dUi,r
£? Ha fiCs ^ H||
qui ont lieu pour des valeurs de r différentes de 4 et dans lesquelles ai , a^ , «s représentent des constantes. En ayant égard aux relations (18) et (19), Tidentité
Htt ^ Hu d Hb d Ha d Bu
/W — I dUx,r dU2,r dUi^r du^^r
deviendra
«1 »i -f- «a Kj -f- «a «s = O.
Or cette relation exprime que le plan langent à la surface u=: o est constamment parallèle à une droite fixe^ donc
Véquation
représente une surface cylindrique, c. q. f. d.
La direction des génératrices est donnée par les équations
a, dHu
r étant différent de 4- ^i 9 ^i ^ ^s sont proportionnels aux cosinus des angles de la direction des génératrices avec les axes des Xi^x^^ x^.
63. La démonstration de ces deux théorèmes peut encore se présenter d'une autre manière. Le principe de cette seconde déiùonstration est le même que celui qui a été adopté par M. Brioschi , dans Touvrage déjà cité ^ pour la proposition relative aux surfaces coniques.
La fonction homogène u[xi^x%^XzyXk) deviendra, par la transformation linéaire,
X, = «uri -f «lî/a + «13^3 -f- «14/4 >
j?4 = ûiiXi -H «4ira -H ^*iXi -+• ^»x* 7
une fonction homogène de yi^yty yty fk que je désignerai pari/(yt,jt,y8vr*)- Or on a évidemment
, ^ dç
^ dXr
d'où
(23) •J' , ■■ =1»,,,= A,,r«l.r-f- Al,, ûfa,r 4" A,,,lZ3,r -f- A4., ÛT^ ,,
^ ' djTrdys
après avoir posé
D'après la multiplication des déterminants , il résulté immédiatement
^alité dans laquelle
^W «IJ <ï|3 «M
«»i On On «j«
•'il
t'il •'is «'u
•'ai «'sî
•'sa
•'ai
«'IJ *'4S «'il
A|| Al) Ai3 A|4
Aji Ajî Aj3 A24
D'un autre côté, on a
dUr ( 26 ) Ar,, = — = «r.i «1,, -H tfr,l «a,, "H «,,3 «3,, 4" ttr,4 «4.* f
( 4«6 ) d'où l'on conclut, d'après les mêmes principes,
H„ désignant le Hessien de la fonction u.
Les formules qui précèdent conduisent facilement aux relations suivantes que je me contenterai d'énoncer :
dE, __ JP dQ dV dQ
d^r,$ doi^r dAi,s da2,r dAj,t rfP ^Q dV dQ
da3,r dAs^r dat^r dA^^s
dQ dEu dj? dEu dV
dAr,s ^Ur,i da^^t dur,i da^^f
dEu dV dEu dV
dur,z dai,s dur,^ da^,t
64. Ces préliminaires étant posés ^ passons à la question géométrique.
Les coordonnées d'un point quelconque étant représentées par ~î — > ~? j'effectue la transformation de
coordonnées suivantes :
^, = fli, r i -*- «i2 r 2 •+• «13 y% -+- «14 y^ ,
ar, = a,, j, -H a„ y^ -|- «,3 y^ + a^ y^ ,
de sorte que les nouvelles coordonnées du même point
seront —> — , — ïk Xi y*
Si l'on pose
«Il «IJ «13 «îl «« «M «81 «33 «33
( 4i7 ) on aura , après avoir introduit Thypothèse >
[ don ' dau * </a»4 ' ^44
Les relations (aS), (27) et (3o) donneront alors (3i) H, = 0Î,PÎH«,
et les relations ( 28) et (3o) conduiront à
(3») ?^ = PÎ?-'-
Les équations (3i) et (32) sont la base de la seconde démonstration que je vais exposer.
