Si l'équation

«(or,, Xî, «j, a74)=o

représente une surface conique , on pourra toujours opérer une transformation de coordonnées telle , que le cône se trouve lapporté à son sommet, et, par suite, quel equation

soit homogène en Ji^ y*^ Jt] ce qui entraine, comme conséquence nécessaire ,

dyxdy^ dy^dy^ dy^dy, dy\ c'esi-à-dire

Mais alors le Hessien H^ est identiquement nul j donc, en vertu de la relation (3i), il en est de même du Hessien H„.

Àim, de Mathémat., t. XVill. (Novembre 1859.) 27

(4i8) Ainsi , lorsque V équation

représenté une surface conique, le Hessien de la fonction u est identiquement nul.

Il n'était même pas nécessaire d'opérer la Jtransformation générale (29) pour arriver à cette conséquence 3 mais comme elle est indispensable pour le cas du cylindre , j'ai préféré déduire les deux théorèmes d'une transformation unique.

Pour démontrer la réciproque de cette proposition , on établira d'abord, eu adoptant le raisonnement exposé dans le n° 60 , l'identité

Ceci posé, on voit immédiatement que la transformation linéaire

Xx = a^xyx -^aitXi -h durs -H ^aiji,

^3 = «ai ji 4- «M r» -+" <»»7j -t- ^«»r4 9

^3 = «SI Ti -*- «aa/j -*- ûssr» 4- y^Oi^r* > ^4 = o.yx 4- o. j^, 4- o.jr^ H- >«< J*

conduit à une équation

homogène en^i,/», j*». En effet, cette équation étant homogène enyï ijt^yzjykt il suffit de constater que le premier membre est indépendant de la variable y* , c'està-dire que

Or

dy.

dif -. * s ^

-— = a, Aa, 4- K| Aaj 4- "3 Aaa 4- «♦ Aa^r

mais le second membre est nul, d'après Tidentilé (33)5 et la réciproque se trouve ainsi démontrée.