Siréquaiion

« (oTi, ^1, Xsi ^4) = 0

représente une surface cylindrique, on pourra toujours opérer une transformation de coordonnées telle, que le cylindre se trouve parallèle à Fun des axes, celui des y^ par exemple ; par suite , Téquation

ne devra pas renfermer de termes enyï*, ce qui entraine conune conséquence

dy^dy^ dy^dy^ dy] dy^dy^

On voit alors que le Hessien H^ et la dérivée -7—^ sont

duu

identiquement nuls^ donc, en vertu des relations (3i) ei (32) , il en est de même de H» et de -^• Ainsi lorsque ïéquation

«(jc,,ar,, 4:3,0:4)= o

représente une surface cylindrique^ le Hessien de la fonction u ainsi que la dérivée du Hessien par rapport à U4,4 sont identiquement nuls.

Pour démontrer la réciproque, on établira, «comme il a été fait au n^ 62 , Tidentité

(34) a, tt, -4- a, w, 4- «3 03 = 0.

Ceci posé) on voit immédiatement que la transforma-^

tion linéaire

a:, = flii/i 4- Onfi -f- >a, j3 4- «1,4^4, a?, = flî, jTi -H «M^a H- ^«2^5 -H ««r4 > J?3 = «31^1 + «32 r» -^ ^«3/3 4- «34/4, X4 = o.j, + o.jr, 4-o.jr, H-Û44J4,

conduit à une équation

qui sera homogène en yi , J"f , J"*. Pour le démontrer, il suffit de faire voir que la dérivée -j- est identiquement

nulle. Or on a

dv

d'où Ton conclut, d'après la relation (34) ? dv

Les deux conditions énoncées sont donc nécessaires et suffisantes.

( La suite prochainement. )

INYARIANTS [snile (*)] ET SOLUTION DES QUESTIONS 387 ET 412

(TOi|t.Xyil,p. 801};

Par m. BLERZT,

Directeur des lignes tâégraphiques , à la Rochelle.