Les trois formules générales d'invariants que j'ai

(*) Je viens de retrouver ce précieux travail qui date de i858, et quf j'avais malheureusement égaré. Tv^

données précédemment (tome XYII) sont homogènes en exposants et en indices. Il est facile de démontrer que cette propriété s'étend à tous les invariants simples.

Je suppose qu'un invariant I puisse se décomposer en deux parties, Tune I„„, d'exposant n et d'indice Wj, l'autre \nf,n\ d'exposant rJ et d'indice n\. En effectuant sur

I l'opération indiquée par ^'^•"•^T"' ^^ obtient une

fonction composée de deux espèces de termes : les uns provenant de I„,„, sont d'exposant n et d'indice n^ — i, les autres provenant de I„r,„; sont d'exposant n' et d'indice n\ — I, et la somme de ces termes étant nulle indépendamment des valeurs particulières attribuées aux coefficients iJiy on doit avoir séparément

S'-^-ïf^^ et 2'-^-

c'est-à-dire que I est la somme de deux invariants simples. En général les fonctions qui expriment les données d'une question étant prises toutes sous forme homogène tant en indices qu'en exposants, les fonctions algébriques effectuées sur ces fonctions ne donneront jamais que des résultats homogènes , ce qui est un utile moyen de contrôle de l'exactitude des calculs.

2. Il résulte des deux conditions d'homogénéité et de symétrie qu'une fonction impaire ne peut avoir d'invariant d'ordre impair en exposant et n'a pas d'invariapt du second degré. C'est facile à démontrer.

On peut en conclure aussi, comme cas particulier d'un ùtéoTbaie probablement général, que

n'a pas d'invariant du troisième degré-, car cet invariant

( 4" ) serait de la forme

et en cherchant à déterminer les coefficients m^riy p^q, r, s par la condition

on trouve que tous ces coefficients doivent être nuls.

3. Les propriétés des invariants dont j'ai parlé jusqu^ici semblent purement théoriques ; quelques eicemples montreront l'importance que ces fonctions sont appelées à prendre dans Tétude algébrique des équations.

Je commencerai par établir deux formules très-utiles et qui résultent de la notation symbolique

nin — i) = fl, a:» -+- noi jc»~* H i <ïj jc"""'-|- . . . -f- na^^t x -*-«„.

La formule de Taylor appliquée aux fonctions entières et rationnelles donne

/«(•«-+-r) = ^ x"H ^ af^-\..

or

dy I H- ^-^ «ar H- • . . •+ ««-1 j

donc

dfn

= Ifl/m-i^

De même

dy

et par suite

dj^

et en général

dt

d;où

4. Cherchons , au moyen de cette formule , à faire disparaître le deuxième terme d'une équation. Il faut poser

/! = o, c'est-à-dire

«•r + fli = o ou

Il vient

et en remplaçant x par Xj c est-a-dire x par ■

et multipliant par à^^j on obtient enfin Fidentité

mim-^i)

«•/» ( '] [Oo^ -^ «i)"-'+. . .

dans laquelle

Les signes supérieurs s'appliquent au cas de i imp^ et les signes inférieurs au cas de i pair.

Cette formule me servira plus loin pour transporter aux équations générales

A«" -H Bx^« -h Caf^"* -H . . .= o . les propriétés reconnues sous la forme

J?»-f-/?dî*^»-|-. . , = o.

Comme

«•/»( — — ) = flrofl» — «î, ♦

on voit tout de suite y par application de la règle de Descartes, que

est une condition de réalité des racines pour les équations de tous les degrés.