Dans ce qui suivra , je désignerai , pour simplifier
(4a5) récriture, par
^t <fy ^» f*> X
les invariants
Ij> l9,4> ^*,ij l4,3f I«,a { j»
On vérifie facilement les relations que voici : ^•fi f— ^j =ûo«a — «î =o,
= <i;cjX — aJfA — 4c^>
ajyi ( — ~ j = aj^ô — - 6flJ «,£!& 4- ïSflJ a\ a^ — 2oa^a^ a,
-4- \^a^a\a^ — Za\
= flîX — ^a\rs\ — iOflJfx-4-5CT*.
En désignant par D^ le discriminant def^^ on sait en outre que
Di =P— 27fA^
6. La formule du n^ 4 appliquée à Téquation du troisième degré donne
, ûJ(ûro^'-|- 3tf, 4?*-H Sûjor-i-fla) = (flo^r -f- û, )^ + 3 (ûfa «2 — «î) (Co X-^ai)
=:(aoa:H-/i,)» -f- 3iff(«o^H- «i)±VflJ(j) — 4^^*-
L'ambiguïté du signe du radical introduit est sans importance, ce radical devant toujours par la suite être élevé au carré.
(*) Voir t. XVII, p, 3oi. Th.
On calcule facilement par la méthode de Lagrange l'équation aux carrés des différences de
or* H- /?x -+- ^ = o , on trouve
V»-4-6/?V»-H9/?»VH-(4p>-i.27y») = o.
L'équation aux carrés des différences de
(aoJc4-fl,)a4-3tj(€7oJF + c,)±:^aJ(j>*-4ij»=o
est donc
V« + 180 V» -f- 8i©V -4- 27fl;9 = o.
Soient aoXi 4- ai et a© Xj -|-ai deux racines de la proposée, le carré de leur différence est aj [Xt — Jtj)*; en remplaçant V par al Y, on a une nouvelle équation
qui a pour racine {Xi — Xj)* et qui est par conséquent r équation aux carrés des différences de
a^a^-h 3aix^ -h Za^X'^' 0^=: o.
7. Le même procédé de calcul donne une vérification facile des formules de la question 412, t. XVI, p. 4^4) des Nouv^ettes Annales,
Je prends une équation sous la forme •
Je désigne par *,• la fonction symétrique simple d'ordre i de cette équation et par Sj la même fonction symétrique pour l'équation aux carrés de la différence de la proposée
nr^^i^JZJi, j^nj^ Bar"-' -+-Ca:"~'-(-Dx«-'-h. .. = 0.
( 427 ) Lagrange a donné entre ces fonctions symétriques la re«* lation
o 2i{ai — i)
Les formules de Newton (*) donnent
^e=-.2/7(/?» — 3r)4-3^* — 6a; S, -4-8 = 0, S,H-BS, ^aC^:©, •S, -i- BS, H- es» 4- 3D = o,
et la formule de Lagrange donne
S, = mSi = — amp ,
S2 =:ms^-+- 3s\ = 2m(/>*--2r)-4- 12/?»,
Sj = mst -h x5 ^a ^4 — 10^3
=r— ^mp (/?»— 3 r) + 3/II7'— 6/ww — 6op{p^"^2r)^goq\
On en déduit
C=/>*(2wi*--iw — 6) -f-awr, 3D = 2/?»(m — 2)(2/n'H-iw — iS)
-+- 6/?r (2/w» — m — 20) — 3^' (/» -• 3o) -4- 6mu.
{*) La justice exige formules d'Albert Girard. Tu.
(4^8) Maintenant j'identifie la proposée avec
mim — i) , . > ,
H ^ 1 5-/^ i(fl;>— 3BF»)(<lo«+«I)"^-H.•• I .2.5.4
171 (/i? — i)(>yt— 2) (m — 3) (m — 4) (^-^5) "■* 1.2.3.4.5.6
Je n'écris pas le terme en (a^a: + ai)'"""* \ il est inutile.
La substitution de ces coefficients à p, ^, etc., donne après réduction
B =—al^{xt --^ x^y = m^ {m '^i)rj j
6D= — 6^; 2 (^' — -^OM^i — ^3)M^t -- ^4)'
^1 , JCs , 0:3 , etc., étant les racines de
8. Je vais maintenant faire usage des invariants dans la résolution algébrique des équations du troisième et du quatrième degré.
( 4^9) On trouve dans la quinzième leçon du Cours d^AU gèhre supérieure de M. Serrel ( i" édition, p. i86) deux méthodes pour résoudre Téquation du troisième degré. La première, celle de Hadde, traite l'équation
ad^ -^px -^q = o, et fait dépendre sa résolution des deux suivantes
Cette dernière équation étant la résolvante de la proposée , l'expression algébrique de x est
où
et en n'associant que les valeurs des radicaux cubiques dont le produit est — ^* J'identifie la proposée avec
la résolvante devient;
et Fexpression algébrique de x devient
.^^zd<îE^±!^ ^ dzd<l^=Ak:z
flo
(•43o) La deuxième métliode proposée par Lagrange traite Téqaation
j:^ -4- P:»^ H- Qx -♦- R = o,
et la remplace par le système
-- P -h v^êî + v^ô",
Ô»~(2P3 4-9PQ-27R)ôH-{P-3Q)» = o,
^1 et Oi étant les racines de cette résultante en 6. J'identifie avec
«0^ -+" 3ai x' + Sûîor -f- fla = Oj la résolvante devient
d'où
et
- « . -H v/ "^^^«y 4°^'-^^ov^ ^^ 3^->^/g,(p-.4tj3 g,Vj
valeur identique avec la première trouvée par la formule de Cardan.
L'extension de la formule de Cardan slux éqnations complètes ne présente qu un intérêt théorique 5 l'introduction des imaginaires dans deux au moins des trois valeurs de X rend la formule inapplicable en pratique. Mon seul but était de montrer par un calcul simple que les méthodes de Hudde et de Lagrange sont identiques non-seulement dans leurs résultats, mais même dans les résolvantes qu'elles fournissent.
(431) 9, Des calculs analogues s'appliquent à la résolution des équations du quatrième degré. Je ne parlerai que de la méthode de Lagrange qui, partant de Téquation
ar* -4- /?;c* -f- ^x' -H ne -H ^ = O ,
arrive à la résolvante
et donne pour expression des racines de la proposée
• /? -f- ^1 -+- s/êî -+- \/ôi
Avec la notation symbolique
(ûro|û,,<ï„ûr3,^«)(«, i)'=:o, et en posant
la résolvante devient
et l'expression générale de x
La résolvante peut s'écrire plus simplement
4 (t H- o)» — «; X (t -H o) -h ûj fit = o, et Ion en déduit
ex{>ression remarquablement simple, grâce à Temploides invariants.
