IÎ
Ci^^
nh
rii
et en ayant égard toutefois aux relations (2).
Désignons par f le premier membre de l'équation de la surface, par X, , Xj, Xs, X^ ses demi-dérivées par rapport aux variables Xi, a:», 0^3, ^4 5 puis, par^o? Aj, Àj , A3 , A4 ces mêmes expressions dans lesquelles on aura remplacé Ti , Xj , J^s , x* respectivement par «1 , «j , «3 , «4 5
on aura les identités
/ A, = û,i a, H- «,, a, -h ûi3 aa -f- fl,< ût< = fl„ a, -4- a„ aj -H «3, aj + ««, a4 ; Aï = flîi a, 4- «22 aj -f- «,3 aj H- a^ «< == 0(2 a, -i- «22 «2 4- «32 «3 4- «42 a4 ;
== «,3 a, 4- «23 «2 4- «83 «3 4" «43 «4 î A4 = «4, aj 4- «42 «2 4- «43 «3 4" «44 «4 = û,4 a, 4- «24 «2 H- ^34 «3 4- «44 «4 )
38, Maintenant multiplions la quatrième ligne du déterminant V par «4, et ajoutons-)' les trois premières multipliées respectivement par a, , aj , a» , il viendra, en ayant égard aux relations (2) et (4),
«Il «12 «13 «14 'w, /t, «21 «22 «23 «24 'W2 /Î2
Al A2 A3 A4 o o m, /Wa /W3 /W4 o o
Puis multiplions la quatrième colonne de ce dernier dé*terminant par a 4 et ajoutons-y les trois premières respectivement multipliées par a, , a^ , ag , on obtiendra définitivement
«33 A3 W3 A3 <po O
«Il
(Sa) En développant le second membre de ridenlité (6), aprèà avoir posé
on trouvera
[ Ji = «2 ^3 — n^niiy
I J,= /f3 /II, — /l, W3,
«Il
rti.
rf'R
r^ra
On voit, d'après les équations (7) , que si l'on peut déterminer pour /, , j^, , y^ des valeurs qui ne soient pas nulles toutes trois et qui annulent le second membre de l'équation (9), il en résultera toujours pour les m,, Tii une infinité de valeurs qui rendront la droite (i) tangente à la surface.
39. Avant de discuter l'équation (9), je vais indiquer plusieurs relations d'identité, dont la vérification est facile, et qui peuvent s'obtenir immédiatement en appliquant aux dérivées partielles du déterminant R la formule générale déjà citée
r/2p r/P dV d9 dP
dftrsdar^ ,, dnrs dfir^s, dOrs^ dOr,
{ 53.) et en ayant égard à Tidentité
dar, dar^ ,, ^/a„, da^^ ,
(Brioschi, Théorie des Déterminants ^ p. lo). Ces relations sont les suivantes :
dK __ rf'R ^'R / ^'R y
da^^ da^idau da^idon Xda^^dan/
dR __ ^'R d'K / d'K y
doii da^idoxi da^da^^ \danda^^)
dK d^R e/»R __ / é/'R y : da^x dan da^ daxxda^i x^^n da^^J
dR d'K d'K d'R d'K
da^i da^^da^x da^^da^^ da^dat^ da^^da 12
dR d'R d^R d'R d^R
doii dai3 da22 da^^ da^ da^x dOis ^«33 ^^n
dR d'R d'R d'R d^R
dai2 danda:^:^ da^ida^ da22dax^ da^ da^
Première hypothèse. ; — est différent de zéro.
40. L'équation (9) pourra s'écrire de la manière suivante , en formant le carré par rapport à la variableyi ,
a' V-ll«- = Y' + \J1^ -^^ (-^^ YV
* da„da„ ' [danda,, da„da,t \da„dai,J y
{jda^idaii daxxda^^ \da22daxi) J
dan doz3 d<^\\ d^23 ^^71 doxi da^i dax2j où
da22da33 da^^da^ doiidaii
(54 ) et si l'on a égard aux relations (12) , elle prendra la forme définitive
aJV '^•^
da^i da (i3
= YÎ +
/rfR , rfR dR A
Nous distinguerons alors plusieurs cas.
4i . Prebcier cas. - — est différent de zéro.
Il viendra, en formant le carré par rapport à j^ ,
1^ 1?L (—\ da^i da^i yda^i/ ,
après avoir posé
dK ^ dR dK
Y3 = J2 — -— - Jj.
Enfin , si Ton a égard à Tidentité
d'K dK dR /^R y
dond^^i "^ </«M rfas3 \<^«23/ ' Téquation précédente s'écrira
é/Ûj
Or, pour que le second membre de celle équation ne puisse pas s'annuler, il faut et il suffit que tous les termes soient positifs, puisque le premier est essentiellement positif. En effet, il ne pourrait alors devenir nul
( 55) que pour y^ = y, = ^5 = o, ce qu'on ne saurait admettre, car, dans ce cas , les équations (i) et (2) seraient incompatibles^ et Ton sait qu'il passe toujours une droite par un point donné.
Donc, pour que le point soit intérieur lorsque
— :t— ^o et :r^$o,
il faut et il suffit qu'on ait :
dan ««33
