Soit

Posons

on obtient

U, = (Ao,A.,A.,A,)(Ç,i;)»;

Ao=:{«.,A„A„A,)(ai,aa)% Aj=:(Ao, A„ A„ A,)(p„p,)'j

(447) Posons

^.= fAaA,-A;, i(AaA,~A.AO, (A,A.-A;)1 (g,Ç)»;

les binômes doivent être considérés comme des monômes. Remplaçant dans tf^xetf par leurs valeurs en ^ et ^, et dans (fi les A par leurs valeurs en a, on trouve

(f est dit un covariant de U.

Dans les invariants, on n^aque les coefficients a de U, tandis que dans les covariants, on a aussi les variables x^j.

18. Généralisation. Soit U une fonction à deux variables 5 tranformons-la linéairement comme dans le paragraphe précédent; soient a^b^c^d^ ... les coefficients de U, et A, B, C, D, • . . les coefficients de la fonction transformée Ui ; ces coefficients sont des fonctions de a , b^Cyd^ ... etde«i,/3i, ««, p,.

Faisons sur U une opération dériuative; par exemple,

dx' df \dxdy) ""^' et d'une manière analogue,

dX^ dV \dldX,) ""^''

f est composé de a, b,c, d^. . . etdex, jr^ Çi est composé de A, B, C, D, . . . et de |, f . Si remplaçant dans 9 , x etj par ses valeurs en J , f , et d^ns Çi , A ,'B, C , D. . . par ses valeurs en a , i , c , J. . . 5

«1 9 «f 9 Pm Pt 9 on obtient

(448 ) OÙ p est un entier positif alors (f est un covariant de Ui Il y a encore d'autres opérations dérivatives qui donnent des covariants. La démonstration exige qu'on sache ce que deviennent par transformation les quotients différentiels de U, c'est l'objet de l'article suivant.

Transformation linéaire des quotients différentiels (*).