I. Déduire 6 de chacune des équations
tang 0 taDg2 d ■+- cet Ô = a , 2 sin* 3 G -f- sin*60 = 2 , * cos/îôH-cos(/i — 2)ô = cosft.
JI. L'aire totale d'un cône droit étant triple de Faire de la base, trouver l'angle au sommet.
IlL La distance du centre d'une ellipse à la corde qui réunit les extrémités de deux demi-diamètres, formant un angle droit , e$t constante. Quelle partie de Taire de Tel-
(5) lipse est l'aire du cercle qui a pour rayon cette distance constanJte.
IV, Deux cercles de rayon R et r se touchent extérieurement, 9 est Tangle formé par les deux tangentes communes ] prouver que l'on a
V. Les quatre centres des cercles qui touchent trois côtés d'un triangle étant réunis deux à deux, donnent six longueurs. Démontrer que les six milieux de ces longueurs sont sur la circonférence circonscrite au triangle.
Les solutions doivent être adressées avant le lo décembre po.ur que les prix puissent être décernés en janvier iSSp. Il est probable qu'on n'a en vue que des étudiants américainSy quoique cela ne soit pas dit. Aucun étudiant ne peut obtenir deux prix la même année, mais obtenir une décision des juges.
En outre, cinq prix de 5o, 4<^,'3o, 20, 10 dollars seront décernés à des mémoires sur des sujets ad libitum, et par ordre de mérite.
On donne les noms des juges , mesure que nous avons demandée il y a plusieurs années pour les questions du grand concours , et même les noms de ceux qui proposent les questions. La responsabilité personnelle est une ga-* rantie; elles vont ensemble et disparaissent ensemble.
Le mois d'octobre , le seul que nous ayons reçu , contient : Une Note sur les fractions décimales, sur le plus grand commun diviseur, sur l'équation des payements , sur les formules de Neper, sur les dérivées 5 des propositions segmentaires sur la distribution des. points sur une droite*, formules sur un volume prismoïde, arches en ovale et à trois centres : relation entre le minimum et
rétat d'équilibre; sur les vitesses vîrtueUes; des problèmes et des théorèmes de géométrie élémentaire.
Le format est în-4 ] chaque numéro , de quatre feuilles, est très-bien imprimé, à Cambridge (MassacHusets) à une lieue de Boston et qui possède- la plus ancienne université des États-Unis , fondée en i638. Le prix annuel d'abonnement sur lieu est de 3 livres sterling pour un exemplaire > de 5 pour deux, de 1 1 pour cinq , de 20 pour dix abonnements.
Plusse ce nou^veafti semeur de la saîaUedoctriae prospérer,, et propagei? la sejale science qui ne ren^ferme que des vérités abritées contre toutes lea passions cupâdes, au cachet terrestre,
L'Amérique possède déjà un excellent journal d'astronomie,, eï^écuté: avec h9aAi!eQup> de soiins et très-es(iiné; elle a cela ea cornooiun avec ti(mte& les grandes nations civilisées , exceptié une. seule.
Journal fur die reine und angewandte mathematir
(Crelle).
(T. LVI , cahier I , ifièfi, dft 100 pages, )
Géométrie.
H. ScHROTTER (p. 27 à 44) • Sut les courbes à double courbure de troisième classe et du troisième ordre,
li'ordre e;5t indiqué parle, nombre de points d'intersection avec un plan, et la classe par le nombre, de plans osculateur^s qui passent par un point donne. Toutle-Mémoire roule principalement sur les plans oscuia>teurs , et on établit ce principe , que toute courbe à double c©arbure du troisième ordre est aussi de troisième classe.
(7) nouvelle ânaloigîe avec les couîques et qui a été indiquée déjà par M. Chasles.
JoAcHiMSTHAL (p. 44 ^ 4^)* Obsen^atioTis sur le Mémoire précédent^ à l'aide de la géométrie algorithmique.
Il ramène à quelques lignes les dix-liuit pages de M. Schrôtter.
Analyse des formes.
A&I7DT (Pierre-Frédéric) (*) (p. 64 i ^t),Sohu>i(m d'un problème sur la décomposition des formes quadratiques .
Est relatif au problème de rarticle 236 des Disquisi-lion es.
Il s^agit de transformer par des substitutions linéaire» à coefficients entiers la forme AX* H- BXY H- CY' dans le produit (ax*-h bxy -^ cy*) (a'x* -h-i'j^j^-i-c'y*), le* déterminants de ces facteurs étant entre eux comme deux nombres carrés donnés.
Arwdt (Pierre-Frédéric) (p, 72 à 78). Sur le nombre de genres [gênerai) des formes quadratiques.
Solution dilucidée du si difficile problême § 286 des DisquisitioneSj à F aide de deux théorèmes établis comme lemmes.
AuTDT (Pierre-Frédéric) (p. loo)^ Obsen^ation sur les formules qui expriment le nombre des classes des formes quadratiques.
C'est une extension des formules contenues dans les
(*) Né le a3 août 1817, à Treptow sur la l^e^a -, privat^docent à Berlifl» On nomme ainsi ceux qui ont la permission de faire des cours publics, sans être professeurs.
( 8 ) célèbres Recherches sur diverses applications de V analyse infinàésimale à la théon'e des nombres de M. Dirichlel {Crelle, tomes XlX et XXI). '
Analyse fonctionnelle.
Rudolf Lipschitï ,. à Bonn (p. 1 1 à 26) . Sur la représentation de certaines fonctions par la formule sommatoire d^Euler.
Cette formule sommatoire est celle du Calcul différentiel y p. 43o : S j: = I zdx -\ — ^ 4- . . . .
L'auteur la compare aux recherches de Jacobi sur la formule de Maclaurin (Crelle, t. XII, p. 263) et au Mémoire de Poisson sur le calcul numérique des intégrales définies (Mémoires de Plnstitut, t. VI; 1827); il discute avec profondeur et délicatesse la série qui exprime logF(/z); discussion déjà faite par M. Liouville (t. IV, p. 317), et recherche dans quelles limites la série d'Euler est légitime.
E. Heine , à Halle (p. 79 à 86). Extrait d'une lettre au Rédacteur sur les fonctions E.
On trouve ces fonctions dans le Journal de M. Liou^
ville (t. IV).
E. Heine ) à Halle (p. 87 à 99). Quelques propriétés des fonctions E de M. Lamé^
Notre illustre géomètre s'est servi de ces fonctions pour l'attraction des ellipsoïdes; M. Heine donne de nouvelles solutions et s'appuie sur une propriété de déterminants qu'on doit à M. Painvin (Journal deM. Liouville, i858, p. 4i et 42).
Mécanique.
Neuman», à Halle (p. 46 à 63). De problemate quodam mechanicOy quodadprimam integraliumultraellipticorum classem rei^ocatur.
Un point se meut sur la sphère a:* + j^' -h ^* = i ^ la fonction potentielle des forces qui agissent sur le point est aa:'+ Ay*-h cz*\ a^b^c sont des constantes positives ou négatives \a^b^c\on demande quel est le mouvement du point?
L'auteur fait usage des équations de Hamilton.
Application à l'attraction des ellipsoïdes.
A. Clebsche, à Carlsruhe (p. i à lo). Sur l* intégration des équations hydrodynamiques ,
C'est la suite d'un autre Mémoire sur le même sujet [Crelle, t. LIV, p. 254).
INDICES TRACTIONNAIRES , DIFFÉRENTIELS ET d'iNTÉGRALES.
Leibnitz. — La première idée de ces indices est due à Leibnitz^ on la trouve dans une Lettre adressée à Wallis, t. m des OEuvres de celui-ci, çt dans plusieurs Lettres de la Correspondance entre lui et Jean Bernoulli.
EuLER. — La première théorie est d'Euler, t. V des Comm, de *S*.-P., où il cherche les termes interpolés d'une série dont le coefficient du n*^""' terme est ni n étant entier \ il suppose ensuite n fractionnaire et exprime les coefficients par des intégrales définies.
Laplace.
Bulletin mathématique, t. V. (Février iSSg. ) 2
Liou VILLE. -^ = m^ e"*', même pour u fraclion-f
naire.
Tardy. — Au Congrès de Milan en i844«
Peacock. — Report of tfie 3** meeting of the britisch dissociation.
Greatheed. — Cambridge mat. Journal, t. V, p. i.
Kelland. — Transactions ofthe R. Society ofEdinburghy u V, p. 1 4 et 1 6.
Ceiïter. — Camb. and Dub. mat. Journal y t. V, p. 3 et 4.
Liou VILLE. — T. XX,p. ii6.
Tardy. — AnnaU di.mat, pura, etc., t. I, majogiugnoj i858 (d'oùceci est extrait). Travail remarquable.
Thèses présentées a la Faculté des Sciences de Paris, le 7 août 1 854 ; par M. C.-Alph, Falson. ln-4 de 28 p. — M. Chasles, Président-, MM. Lamé, Delaunay, examinateurs. Dédiées à M. Joseph Bertrand, professeur de M. Valson.
THiSE D* ANALYSE.
^application de la théorie des coordonnées elliptiques à la géométrie de l'ellipsoïde.
Cette thèse renferme trois parties.
La première partie contient les propriétés connues des lignes de courbure et des sections principales (Moigno, Calcul différentiel j 35® leçon) et aussi les théorèmes de Jacobi sur les lignes géodésiques [Journal de M. Liouville, t. XI , p. io5 ). On y remarque ce théorème : Si un mobile se meut librement sur un ellipsoïde, la pression
(fu il exerce sur la surface est proportionnelle au cube de la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent.
La seconde partie renferme les propriétés focales identiques à celles cpe M. Weierstrass a communiquée» comme théorèmes nouveaux à TAcadémie de Berlin au nom de M. Hellermann , et que nous avons consignées t, XVI, p. 242. C'est ce qu'il était bien permis à l'illustre analyste d'ignorer 9 puisque moi, habitant de Paris, à raffut des nouveautés 'scientifiques, je l'ignorais^ et ce qu'il y a de singulier, c'est que ces théorèmes si importants , si longtemps cherchés , qui transportent aux surfaces quadratiques les propriétés des lignes quadratiques, foyer» et directrices , et assignent aux lignes de courbure un nouveau rôle, n'ont été nullement remarquées; et, comme il arrive assez souvent , les découvertes indigènes ne nous arrivent que par la voie aborigène.
De là , M, Valson passe aux propriétés projectives sur les sections circulaires et parvient encore à de très-belles propositions. Le point de départ est un théorème de M, Michael Roberts [Journal à^ M. Liouville, t. XV, p. 289). Soient j^L et v deux coordonnées d'un point M de l'eUipsoïde , MMa projection de M sur une section circulaire par une parallèle à 01: ; si F et F' sont les projections semblables des ombilics ^ur la même sectioi» circulaire \ désignant par f/e , Vo le^ demi-^axes des courbes horaofocales ayant F et F' pour foyers et passant par le point
Ainsi
étant Téquation d'une ligne tracée surrellipsoide, sa pro-
jectioD sur la section circulaire sera
L'auteur considère ensuite des sphères concentriques aux sphères focales et parvient h généraliser ainsi le théorème de M. Roberts cité ci-dessus : Savoir si une courbe tracée sur Tellipsoïde est définie par l'équation
où t et t^ sont un couple de tangentes menées du point M à deux sphères concentriques aux sphères focales; sa projection sur la section circulaire parallèlement à Taxe oz a pour équation
F (afzo, avo, a/,, a.t\) = o;
lo^t'o sont un couple de tangentes passant par le point M, à deux cercles ayant pour centres les foyers F et F' des courbes homofocales.
Tout ce beau travail se résume en cet énoncé :
Si une propriété a lieu entre les tangentes quon peut mener par les points d'une courbe à deux cercles dans un plan, il y aura une propriété correspondante entre les tangentes qu'on peut mener des diuers points d*un ellipsoïde aux deux sphères focales ou à deux sphères qui leurs soient concentriques (p. 17).
La troisième et dernière partie traite des lignes rectifiables qu'on peut rencontrer sur l'ellipsoïde ; on parvient naturellement aux lignes géodésiques et à des lignes dont l'équation est de même forme que celle des lignes géodésiques; et le tout est terminé par des considérations sur les trajectoires. oJ//(^Me5 des lignes géodésiques.
Cette belle thèse est un progrès. Le jeune professeur s'est montré fidèle à la devise de la nouvelle génération: go a head.
