QUESTION DE PRIX
Proposée par rAeadémie des Sciences de Berlio.
Die théorie der Krûmmungs-Linien der Jlâchen in irgend einem wesentlichen Punhte zu i^ervolfstândigen,
a Compléter en quelque point essentiel la théorie des » lignes de courbure des surfaces. »
Il ne s'agit pas d'augmenter le nombre des surfaces dont on puisse connaître les lignes de courbure , mais de considérations plus générales, plus importan'es : par exemple, de chercher les conditions nécessaires pour que les lignes de courbure des surfaces algébriques soient elles-mêmes des courbes algébriques, ou bien la détermination de ces genres de courbes sur les surfaces du troisième ordre ou d'un ordre supérieur.
Les Mémoires peuvent être rédigés en allemand, en latin ou en français. Le terme d'envoi est fixé au i" mars 1861, et le prix de 100 ducats (1175 francs) sera décerné à la séance publique, anniversaire de Leibnitz, au mois de juillet 1 861 .
Chaque Mémoire doit porter une devise sur un bulletin cacheté contenant le nom de l'auteur.
( i4 ) NOTE SUR LES LIGNES GÉODÉSIQUES ;
D'après M, Otto BÔKLEN.
Schlômilch Zeitschrijï, cahier IV, i858, p. ib").
1 * Gauss a démontré que toutes les lignes géodésiques d'égale longueur qui partent d'un même point d'une surface sont perpendiculaires sur la courbe formée par les extrémités de ces lignes. De là, en faisant usage des mêmes considérations infinitésimales usitées pour les coniques planes, on peut déduire le théorème qui suit :
Théorème. Étant pris sur une surface deux points fixes et un point variable dont la différence des distances géqdésiques aux points fixes soit constante, la ligne décrite par le point variable diuise en parties égales V angle formé par les distances et V angle supplémentaire lorsque la somme est constante ; et, réciproquement, si le point variable bissecte V angle des dis^ tances ou son angle adjacent, la d^érence des distAUces ou la somme sera constante*
2. Soient A et B les points fixes , M le point variable. Si l'on pose
MA^MBmp,
MA-+-MB = v; .
fx et V étant des constantes. En donnant à jui et à v diverses valeurs, on trace sur la surface deux systèmes de lignes homofocales et se coupant à angle droit ^ même démonstration que pour les coniques planes.
3. Lemmc. Si Ton prend un point quelconque sur une ligne géodésique tracée sur un ellipsoïde, et que pat
( .5) ce point on mène une tangente k la ligne et un plan tangent à la surface, la distance du centre au plan tangent multiplié par le diamètre parallèle à la tangente donne un produit constant pour tous les points de cette ligne gëodësique. (Jicobi.)
4. Lemme, Si par un point d'un ellipsoïde, on mène les deux tangentes aux deux lignes de courbure qui passent par ce point, ces tangentes sont parallèles aux axes de Tellipse diamétrale parallèle au plan des deux tangentes.
5. Théorème. Si Von prend sur V ellipsoïde pour points focaux les deux ombilics A ef B, et que, pour le point variable M , on ait
MA — MB=fx, MA -f- MB = V ;
faisant varier [x et v^ les deux systèmes homofocaux (n*^ 2) sont des lignés de courbure.
Démonstration. Le produit constant (Jacobî) en M est le même qu'en A et B , il est donc le même pour l'arc MA et pour l'arc MB; donc sont égaux les diamètres parallèles aux tangentes menées par M aux deux arcs 5 ainsi les axes de l'ellipse qui passe par ces deux diamètres sont bissecteurs des angles de ce diamètre 5 donc aussi les tangentes en M parallèles à ces diamètres sont bissecteurs des angles formés par les tangentes aux axes géodésiques. Donc la courbe lieu du point M est une ligne de courbure (n** 4). Lorsque cette ligne passe entre A et B, on a
MA + MB = fA,
et lorsqu'elle laisse les points d'un même côté , on a
MA — MB = V,
Ce théorème est de M. Michael Roberls (Journal de
M. Liouville, t, XI, p. i), mais qui le démontre à Taide de fondions elliptiques. Ainsi les deux lignes de courbure qui sur un ellipsoïde passent par un point donné, jouissent de cette propriété : dans Tune , la somme des distances aux ombilics est constante , c'est celle qui passe entre les deux ombilics; et dans Tautre, c'est la différence qui est constante.
6* Ces théorèmes sont susceptibles d'être généralisés au moyen du théorème suivant , aussi de Gauss :
Si de tous les points d^une ligne quelconque tracée sur une surface on mène orthogonalement et du même côté des lignes géodésiques de même longueur, elles coupent à angle droit la ligne qui réunit leurs extrémités.
Note du Bédactcur, Réunissant les deux ombilics par une ligne géodésique et faisant passer deux lignes de courbure par un ombilic , on en conclut facilement qu'il y a une infinité de lignes géodésiques qui joignent les deux ombilics; que ces lignes sont d'égale longueur; que les sections normales aux ombilics sont d'égale courbure en ces points.
Cette dernière propriété sert à définir les ombilics sur une surface quelconque.
Lorsque la ligne géodésique passe par les ombilics , la tangente en MA et la tangente MB coïncident (voir ci-dessus) ; donc le diamètre parallèle à cette tangente est Taxe de l'ellipse ; par conséquent , au point A , une ligne de courbure touche la ligne géodésique et la coupe orthogonalement ; une nappe de lignes de courbure qui passent par une ligne géodésique a pour enveloppe cette ligne géodésique et Tautre nappe a pour enveloppe une certaine développée de la ligne géodésique.
