mn -t- (/w -+- «) (m

relativement aux coefficients des deux courbes •

9^. Le nombre de courbes d'ordre m qui passent par

— 2 points iixes et ont un double contact avec

une courbe d'ordre n est

Faisant

{*) Cela paraît faux lorsque m = 2 et les n = i, car on a

Donc le nombre de coniques qui passent par 5 — /* points et touchent ju droites est 2' ; ce qui esl faux pour [j. = 5.

on a

-/î*(« — i)^-i- n(5« — 9)= -/«(« — 2)(«'— -9) doubles tangentes par une courbe d'ordre n.

Contacts de surface.

10^. Le nombre de surfaces d'ordre/? qui passent par -^ a — ^ points fixes et touchent (contact bi-ponctuel) une courbe à double courbure d'ordre inn (intersection de deux surfaces d'ordres m et /i) est

mn [m -^ n -+• 2/> ~ 4)' 11°. Le nombre de surfaces d'ordre p qui passent par ^-^ ' ^ — ^-^^- ' — 3 points et touchent une courbe

à double courbure d'ordre m/z, contact tri-ponctuel, est

3 mn (m -^-n '\' p — 4)'

12°. Si dans le cas précédent, au Heu d'un contact triponctuel, il y a double contact, le nombre de surfaces est

-/w'/2'[m H- «-4-2/? — 4? — w«[5wH- 5/H-6/? — 20].

i3°. Faisant p = i, il s'ensuit que la surface développable qui a la ligne mn pour arête de rebrousseroent est de la classe 3 mn (m 4- /i — 3 ) et que par chaque point de l'espace passent des plans qui ont un double contact avec les courbes mn au nombre de

^m^n^ (/w H- /î — 2)* — mn (5w -+- 5/ï — i4)-

^ Cayley (A.), p. .182 à i85. Note sur les normales dUine conique (en français).

Théorème de JoachimstaL ABCD est un quadrilatère inscrit dans une conique tel que les normales qui passent par les quatre sommets se coupent en un seul point. Soit O le centre de la conique, P le pôle de AB 5 prolongeons PO d'une longueur égale à elle-même dans le sens PO ^ soit P'O = PO 5 la droite qui réunit les projections F sur les axes principaux se confond avec le côté CD. [Nouv^elles AnnaleSy t. VI, p. 369.)

M, Cayley généralise ce théorème.

Analyse.

Kronecker (L.), p. 188 à 188. Sur les équations cubiques à coefficients rationnels.

L'équation

ne peut être satisfaite par des valeurs rationnelles que par r = o, 5= I, ou r= i, 5 = 0 (Fermât). Posons

2fl 3^ H- I , I

(correspond à r= — i, ^ = 0),

on obtient

(3 ^ — i)' ( /^ 4- ^' — i) = 2 (4fl' H- 27 a» -f-i) = o, soit l'équation

x^ -\- ax -^ h =z o y

(î3) le dernier terme de réquation au carré des différences est

— 4^' — 27 ^* {valeur négative du discriminant).

Pour le cas actuel, l'équalion est

c'est donc la seule équation cubique à coefficients rationnels pour laquelle la somme des racines est nulle et où le discriminant est égal à Tunité (car — 4^' — 27 i* = i). Les trois racines sont

^ . TT ^ . 27r ^ . Q

Le théorème de Fermât sur l'éqUatiou x^^y^ = z^ peut donc s'énoncer sous cette forme remarquable :

Le discriminant d'une équation cubique complète à coefficients rationnels ne peut dei^enir la sixième puissance d*un nombre rationnel à moins que les trois racines ne soient de la forme

nz , 1: r;r.27r /T7«4^

m -4-/I v3sm-ï /w-f-«v3sm- — » m — nyôsm — 9 9 9 9

m er n étant des nombres rationnels.

— 3 m est le coefficient de x*.

Arwdt (F.), p. .178 à i8i. Démonstration simple de l'irréductibilité de l'équation /elatii^e à la di\^ision du cercle.

Cette équation est

aJi-i ^- aJ»-2 -+- . . . |- 1 — o.

Kronecker a donné une démonstration lorsque n est un

nombre entier quelconque (Liouville, i854> p. ï77)î et d'autres démonstrations pour le cas où n est un nombre premier ou puissance de nombre premier (Lîouvîlle, 1 856) et (Noiii^elles Annales^ t. VIII, p. 4^g, et t. IX, p. 348) ; les démonstrations de Gauss [Disq.^ § 34i)etd'Eisenstein (Crelle, t. XXXVII) ne paraissent pas pouvoir s'étendre au cas général.

La démonstration actuelle est fondée sur ce lemme :

Soient les équations

a-»— X, j:^«-H>, a^K.. =r (x— a )(x— p ){«— 7 )— = n{a:— a ), a-»— fA.ar^-'-hfAja:^-'... =(x— a*)(x— p«)(^— 7«).. . = 7r(a?— a*).

Les X sont des nombres entiers, e est un nombre entier positif.

Les /x seront aussi des nombres entiers^ si e = p^, p étant un nombre premier et tt un nombre entier positif, on a la congruence

(le point leîbnitzien désigne le multiple de;?.)

Arithmologie.

Cayley (p. i86 à 187). Addition à la Note sur la composition du nombre 47 po>r rapport aux vingttroisièmes racines de V unité.

Soit a une racine complexe de l'équation

on a cette remarquable identité communiquée à M. Cayley par M. Kumnaer

(.5) M. Cayley ramène

à cette forme

— a3 a H- 2flc' — 20 a* — 21 g* "^ 3g*

et te profond investigateur d^uit d'une manière admirable que les coeflBcients de F (a) doivent être i, 1, i, 1, I, —I, I.

Calcul infinitésimal,

A. Clebsch (p. 122 à 148). Sur la variation seconde des intégrales multiples.

On sait que cette variation seconde fournit un critérium des maximums et dçs n^inin^um3 pour des intégrales simples. On est parvenu, par des intégrations partielles, à ramener ces variations secondes à une forme plus simple, mais à l'aide d'intégration d'un système d'équations dîfFérentî^Ues a3sez compliquées. Jacobi le premier a fait voir crue pour des intégrales simples à une s^ule variable, il existait une connexion entre ce système et celui qui amène révanouissement de la variation première, «t dans ce cas l'intégration de ces équations transformatrices s'opère sans difficulté.

Dans un précédent Mémoire, M. Clebsch (t. LV) a montré que le principe de Jacobi peut s'étendre à tous les problèmes du calcul des variations lorsqu'il ne s'agit que d'intégrales simples. La recherche des variations se-

Bulletin mathématique, \.\. (Avril iSSg.) 4

condes a été ramenée à la recherche des valeurs que pçut prendre une fonction homogène du second ordre dont les paramètres sont liés par certaines équations de conditions linéaires. Dans ce Mémoire , on établit aussi une telle fonction lorsque même Fintégrale est multiple.

G. Bauer (p. loi à I2i). Sur les coefficients des séries dont les termes sont des fonctions sphériques d*une seule variable.

Soit