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Ces fonctions X„ sont dites sphériques^ parce qu'on les, rencontre dans les problèmes sur l'attraction des sphéroïdes.

So\lf(x) une fonction donnée de x.

Posons

ou

A„ = I fxKndjc,

Le but de ce Mémoire est le calcul des coefficients A. M. Lejeune-Dirichlet a traité cette question pour le cas oàf(x) = 31^ [Journal de M. LiouvîUe, 1857), et par une méthode qui n'est pas élémentaire. Même dans ce cas si simple , le calcul effectif des A est très-compliqué. Par des considérations très-élémentaires , M. Bauer donne ces coefficients pour beaucoup de cas.

Exemples :

P„ est le numérateur et Q„ le dénominateur de la /***'"' réduite de cette fraction continue, ou encore de cette seconde fraction continue i

tang a = -A- -

C'est une conséquence des relations

Pin-i -^ P/i— I — ■ P„ 3C: G ,

Qn+i -- Qn-i Q« = O.

Q„ et P„ sont déterminés par les deux termes d'une réduite de fraction continue. L^auteur déduit plusieurs conséquences intéressantes , entre autres :

f\ ' f f I X /l.3 . . 2/1 — i\» \ 2,,^. , . in J

Ajn \ — l)n -—7 )•

(.8) Ains'

dB

A„ se détermine encore par une fraction continue qui devient finie lorsque m est un noiûbre entier positif.

Lorsque «= o et m est entier positif, l'auteur trouve, d^accord avec M. Dirichlôt ,

A„= f -^-r ; -— (/ïpair).

2«-hi m — i,m — 3... m — /i-f-2

A'r= ■— :— ^ . . ^^/ ^^„^. ('^ impair).

déjà trouvé par Legendre (Recherches sur la figure des planètes^ Académie des Sciences , 1784 )•

L'auteur considère les cas de a = — i et m entier négatif, et en déduit la sommation de plusieurs séries;, entre autres de celle-ci

H ) :-ôtH-