Si
a-n^ b =1 r, alors
de là ce théorème :
Théorème XII. Si du centre p d 'une ellipse on décrit un cercle d'un rayon égal à la somme ou à la différence des deux demi-axes^ on peut inscrire une infinité de triangles dans le cercle et circonscrits à V ellipse.
(63) Observation, Steiner considère ensuite le cas où le cercle est inscrit et IVllipse circonscrite.
18. Théorème XŒ. Le lieu des centres des coniques semblables circonscrites à un triangle donné est une ligne du quatrième degré ayant les milieux des côtés pour points doubles ; l'em^eloppe de ces coniques est encore une courbe du quatrième degré ayant les som^ mets du triangle pour points doubles et na que quatre tangentes doubles.
Il n'y a pas deux con\(\aes homothètes , Quel est le lieu des foyers? Quelle est l'enveloppe des axes des coniques?
19. Théorème XIV. Les lieux des centres des coniques semblables inscrites à un triangle est une ligne du quatrième ordre ^ si les coniques sont des ellipses ^ la courbe lieu des centres est formée de quatre branches Cigales. Si les coniques sont des paraboles, la courbe se réduit à quatre droites dont Vune est située à V infini^ et les trois droites passent par les milieux des côtés du triangle donné.
Quelle est l'enveloppe de ces courbes? le lieu des foyers? l'enveloppe des axes?
En général, on peut inscrire dans un triangle quatre coniques semblables à une conique donnée et homothètes avec cette conique; ainsi toutes les coniques inscrites peuvent se partager en groupes chacun de quatre coniques homothètes. Si ce sont des ellipses, alors les quatre centres dans un groupe sont les sommets d'un quadrilatère complet dont les trois couples de côtés opposés passent par les sommets du triangle.
Le produit des demi -axes de ces quatre ellipses est le même pour tous les groupes et égal à la quatrième puissance de Taire du triangle donné.
Ces quatre ellipses touchent chaque côté en quatre points a', i', c', d\ dont deux b\ c' sont entre A et B^ d de l'autre côté de A et d' de l'autre côté de B ; et l'on a
Aa' = B^, Arf' = Bfl', A6' = Bi?', Ac'==B*'.
Désignant ces quatre distances par ^o , ^^ , Co , ^o ^ et les distances des quatre centres au côté ABpar ej , e, , es , e^^ on a
a^ b^ Cq d^ Cl Ci e^ e^ = A*,
A est Faire du triangle.
Si l'on circonscrit au triangle quatre ellipses ayant respectivement même centre que les quatre ellipses homo-* thètes inscrites , le produit des demi-axes des quatre eU lîpses circonscrites divisé par le produit des demi-axes des ellipses inscrites donne un quotient constant.
Mêmes propositions pour Fhyperbole*
RECTIFICATION Dans U rédaction de la solatioa géoméiriqoe de la qvesiioB 296
(?oIrl.XVIl, p. Wî)î
Par m de JONQUIÈRES.
Ligne 8 en remontant^ il faut lire:
Les quatre premiers sont les points P et les quatre^ autres sont les points P' qui répondent à l'énoncé général du problême, lequel semble ainsi admettre quatre solutions.
Mais les quatre points d'intersection, etc. (Il faut intercaler ici tout le dernier paragraphe de Vaniclei, page 4o3, depuis la ligne 7 jusquà la ligne 22^ et ter-'
miner par le paragraphe qui commence au bas de ta page 4oa par ces mots: Quant à la construction des points;?, q^ etc.)
SOLUTION MS «lIESTfONS 455 ET 456
(YOir t. XVII, p m);
Pak mm. ChaaiiES DÔLLË, de Compiègne, S. CUENOD, TîE Lausanne, et ASTIER, »e LVoiï.
'Question 4S6.
Ôans un plan donné par ses deux traces , mener ùn^ droite telle , que ses deux projections ne forment qu'une seule et même droite (solution graphique).
La droite demandée est évidemment Tintersection d'un plan perpjendiculaire «ux deux plans de projection avec lé plan donné.
Soient PQ et QR les traces du plan donné-, menant ùri plah pçr pe<|>endiculaire aux deux plans de projection , Tinter section dé ces deux plans est la droite demandée. Les projections de cette intersection se confondent avec les traces du plan pqr-^ en rabattant ce plan sur le plan ver- 4ical , la droite demandée se rabat en A'.
Note. La solution de la question 455 étant intuitii^^ nous ne Pin serons pas.
Am. de Maihémai., i. XVIll. (Iî\Bvriep iSSg.)
(66) SECONDE SALDTION DE LA QUESTIM 458
(TOir tome XVll, page 468) ;
Par m. de MONTEBELLO,
Élève de mathématiques spédales à rinstitution des Carmes (classe de M. Gerono).
La limite de
est 1 2 pour w = 00 . (Catalan.)
Je pose
m pouvant être quelconque, mais 2*" restant toujours entier. Je cherche d'abord la limite de Texpression (i) quand m devient înfinî en restant entier. Posons
Bi I I . I I I I I — I — I U — -i- »- 4- «
on aura
donc B
/il I 1 \
= A— ( iH f--4-...-H-- ^H-~ h
(67) Ceci est vrai quelque grand que soit m , et à la limite, B devient 1 2 ; on aura donc
la = lim
\/i-f-i /i 4- « fi -*- 3 2/1/
n étant toujours une puissance entière de 2.
Maintenant jç yç^ia prouver que la limita ey^i la même lorsque m devient infini en passani par des valeurs quelconques , mais a"" ou n restant toujours entier*
Remarquons d'abord que lorsque n augmente^ Vexprcs* sion (i) augmente. Remplaçons,' en effet, n par w+ i, cette expression devient
