II III
/i -H 2 « -h 3 * 2vi 2/i-Hi 2^-4-a^
l'accroissement qu'elle $ubit
2/1 -4- I 2n-H 2 « -h I est positif, car il est plus grand que
2/1-+-2 aa + 2 /iH-i qui est zéro.
Cela posé, supposons m compris entre deux nombres entiers petp-^i*
sera compris entre
et
{68) Les deax ilcroières expressions ont pour limite 1 !i ^ doue la précédente expression, qoî est constamment comprise entre les deux autres , a la même limite. Donc enfin on a
lim
Noie. MM. Siebel, de Lausanne, Hatterer, maître répétiteur à Clermont, Astier, de Lyon, MartelK, de Milan, ont adressé des solutions à peu près semblables à la précédente ; celle de M. Siebel est en allemand.
SMiOTWX 11 U IHESTMII 4S3
CTOirLXTll,p.4Si);
Pam m. MICHAUX, ÉlèTe da lycée Chariemagae.
L'>-hi) <--^---*-5-*-----*-^<" -f-L(»-h i), L= log népérien.
(ScHLOMILCH.)
En désignant par x une quantité positive comprise entre o et i , on a la série convergente à termes alternativement positifs et n^atifs
d'où Ton déduit pour x les deux limites
x>L(i-hx), x<L(i-hx)H
( 69.) On aura done généralement, si p est positif et supérieur
ai,
Remplaçant p successivement par i, 7. y 3,**9 '^ dans ces inégalités (i) , ajoutant membre à membre les nouvelles inégalités obtenues , et posant, pour abréger,
on voit que
Or
et la somme des logarithmes de plusieurs quantités est égale aux logarithmes du prbduit de ces mêmes q[uantités , on aura donc
K 2 « — in
(7«) Ainsi
Cela posé , leà termes de la série
prolongée indéfiniment, peuvent être groupés ainsi
! +[(iy.+ -- + (a*--,)'J' et coicnne l'on a généralement
on voit que la somme des termes de la série (2) prolongée indéfiniment est plus petite que la somme des termes de la progression géométrique déèroissante indéfinie
et comme cette dernière série a pour somme 2^ nous avons enfin
.jl + L+...H-i|<,.
Donc on peut écrire
(7- ) Remarque. Oh V4MI que la série
prolongée indéfinimcïnjta pour j»amme ^« Donc on pourrail remplacer la limite supérieure i -h L (/i -f- 1) par la limite plus faible L (/» -h i) ^- -^ (*).
Note. MM. Cornet, élève du lycée Saint-Louis (classe de M. Briot), et Gérard, élève de Fin^Mtutipn des Carmes (classe de M« Gerono) ont résolu à peu près la question de la même manière.
SECONDE mmm m la question 453 y
Par m. ASTIER, de Lyon.
Dans la formulie connue
logo=lim( h ..H )'
considérons la suite
On a évidemment à la limite
log/? = 5i -h . . . 4- S* 4-. . . 4- S^. Si Ton fait la somme deux à deux des termes équidistants^
{*) Cette remarque ap{)artient à M. Michaux.
(7^) des extrêmes , le numérateur sera constant et égal à
le dénominateur sera toujours plus grand que
A/i X ( A^ 4- i) « çt plus petit que
Donc
et, en remplaçant /i + 1 par n^ ce qui est permis, à la limite
ou , à fortiori ,
Donc
<St<
ïog/>>^ + ... + ^
et
''^ ^a 2 3 p — I ^p 2 jp— I
d'où l'on conclut
log (« -f- i)<y-H ^4- . . . -h ^< I 4- log«.
SOLUTION DE U aORSTION 3SI
( TOlr t« XY, p. 4S9 ) ;
Pae m. le D' J. DEL BECGARO,
Ancien élève de TEcole Normale de Pise.
Soient les équations
a^ — px^ -H ^ar — r= o (racines a, a', a"), ar« — /?'we + ^'ar — / = o (racines p, p', p"),
et posons
A = 27r* -+- 4^^ — iSpqr-i- ^p^ r — /?^^%
Démontrer que l'équation suivante en t
a pour racines les quantités — D\, — DJ, — DJ, — DJ,
— D; , DJ . • ( MlCH AEL ROBERTS . )
Du développement de la quantité DJ ,
OÙ
et Zi exprime la fonction
z. = ap H- a' p' -f- a" p",
on déduit ceux de DJ, D|, D4, DJ, DJ en y «changeant z^ en ^t ) ^8 5 ^» î -^6 j -^e, qui sont les valeurs différentes que peut prendre la fonction z. Laissant les a et changeant ^' en (3" et a;ice versa pour ^1, etc.
Puisque z^ ^ z^y z^ peuvent être regardées comme racines de l'équation
z^^pp'z" -+- Mz — i (N — v/ÂÂ') =0,
et Zt,y -26 j -Zg de l'autre équation
(voir Nouv^elles Annales^ M. Roberts, t. XV, p. 70), on peut calculer, par la théorie des fonctions symétriques , les coefficients des deux équations suivantes
r«-h ^ 2D,; + f id; ï>\ -h d; u\ 1^3 = 0,
^ 4- f^SDj + f 2DJ DJ + DJ DJ DJ = o,
qui ont pour racines — DJ , — DJ , — DJ et — Dî , — Df ,
