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Inventis differentiis^ die AH=:a, — HS = p, pm — IS=q, q in -|-SK = r, rm-hSL = s, s in -4- SM. = T,...5 pergendo scilicet usque ad perpendiculum uhimum ME, et erit ordinatim applicata

(D) RS = fl-h^7H-cçr-h£/r-4-w-f-/^

6. Pour traduire cet énoncé analytiquement de la manière la plus générale, reprenons les deux suites (i). Appelons rapports du premier ordre et désignons par R, les m quantités de la forme

nommons rapports du second ordre et représentons généralement par R/ les >w — i quantités de la forme

( 3i ) En continuant ainsi, on obtiendra en général m — n -+- i rapports de tordre n de la forme

Il n'y a qu'un rapport de Tordre m

Rm— I lïm

et pas de rapport d'ordres supérieurs. On aurait des rapports d'ordre quelconque si les suites (i) étaient illimitées.

Notez d'ailleurs que lorsque la variable x croît par degrés égaux à h, depuis x,^ jusquà x^^-h mb, on «, en général.

Dans ce système dte notations, la formule (D) s'écrit

M, = a<,-f. (x — - x«) R,-|- {x — X,) (x — j:, ) RJ-f- . .. .

(« ■ '■=i.fB^--

7. Pour montrer l'identité des formules (B) et (E), il suffit de prouver qu'on a généralement

On arrive sans difficulté en employant le tour de raisonnement de procbe en procbe. Laissant au lecteur ]e soin d.e vérifier l'égalité pour les rapports du premier el

du second Ordre, je me bornerai à démonlrer que si la loi (6) est vraie pour les rapporU du w'^'"' ordre, elle subsiste pour R""*"* .

Posons, à cet effet ,

,];„ (x) = (jC — j:,)(«— «2). . .(•»^— «^H+i)»

d'où

et eu divisant x — X/, puis faisant a: = jr.

( 7 ) (^i — ^1.+. ) <Pn (^.0 — {^i — -^o) 4* » (^») = ?n+. (^1) • . .

Or on a

ou, eu égard à la relation (7),

iz=.n

X- Il -■■ ■ -; —"" ^ ,

ii= O

c est la loi (6) appliquée à R;+*.

8. Remarquons, pour finir, que la comparaison des relations (5) et (6) explique clairement pourquoi là somme (3) se réduit à l'expression (4), lorsqu'on fait croître la variable par degrés égaux. Elle fournit même la démonstration la plus logique, sinon la plus courte (n**3),. de ce lemme.

APPLICATION DE LA NOUVELLE ANALYSE AUX SURFACES DU SECOND ORDRE

(voir k XVII, p. 4«7) ;

Par m. PATNVIN,

Docteur es Sciences.