DJ
2ZiZj = M, lz,z\-pp'U'^\{-^'--^),
1 z] z\ = M* - pp' (W -- v/ÂÂ^),
on obtient
2Dîr=3(/?y — 4M) ^- 2pp'lz, — 32«;
IDJDÎ = 3 (/^y^ - 4Mr4- 4 (?V - 4M)/>/>' 2 z,
- ^(N» + AA')-+ v^ f^^^gpp'hL + a»'^^
= — y - ^ AA' 4- V^ . i ^7 N — 18/?/?' M -+- ^p'p'At
désignant par ù!^ le discriminant de T équation
z^ — pp' z' H- Mz N == 0.
Mais au moyen des expressions
on a
(76) (voir Nouvelles AnnaleSy t. XV, p. 78) la fonction DîD|D| devient
De même les quantités SD^, SD;I^, D;D|D* s'expriment de la manière suivante :
2d:dî = sd|d;,
DJDIDJ =— A"— ^ AA'— v/ÂÂ'. ^ (27 N — i8/>>3'M +4/?y) De sorte que les équations en t deviennent
et sont satisfaites par les quantités — DJ , — DJ , — DJ ,. — DJ, — DJ, — DJ, comme il fallait le démontrer.
Corollaire, L'équation dont les racines sont les déterminants Dî, D|, d;, d;, d;, dj est
(TOlr t. XVil, p. fit);
Pab m. a. TERQUEM,
Élève da lycée Saint-Louis (classe de M. Faurie).
Par un point fixe donné dans le plan d*une conique passe une sécante mobile, trouver le lieu géométrique du point d'intersection des deux normales menées à la conique aux deux points où la sécante coupe la conique. Quel est le lieu lorsque le point fixe est un foyer?
Démonstration, Prenons le point pour origine et rapportons la courbe à des parallèles aux axes principaux 5 1 équation de la conique sera de la forme
(i) Ar' + Cj:^ -f- Djr -H E^ -f- F = o j
l'équation de la sécante est
Les abscisses a:', x" des points d'intersection seront données par les racines de l'équation
(2) .a:»(Aû»-hC) + J:(Dfl4-E)4-E = o.
Les ordonnées de ces points ont pour valeurs
X z=ax , Les équations des deux normales qui passent par les
( 7» ) points {x', y) , (x",j") sont de la forme
Pour avoir les coordonnées des points d'intersection de ces droites, égalons les deux valeurs de x et aussi celles de jy on obtient ainsi deux équations qui donnent les coordonnées X et Y du point d'intersection en fonction de (a:', y') (x^\ y") et du paramètre variable a. Remplaçant y' ely^ par leurs valeurs ax' et ax^\ on trouve
I(2AJC^-4-D)(^ — Jg')4- (aCj?^-f-R)g.r^ 2Ca?'-hE "*" 2Afla?"-4-E '
puis
^^^ J (7. C.r^ 4- K) (r — g.g'') 4- {iiAaj:"'h D) ^^^ l "^ 2Aflx" -t-D
Lçs égalités (3) et (4) peuvent se mettre sous la forme suivante :
( 2AE« (^ - :c' - x") -h 4Cflx'.r" (C — A) J
|-H2C[E«(x'4-a:'')-D:r]-hE(E«~D))^ ^"~^'
j 2CD[7-.a(*'^x'0]4-4A«V*''{A-G)J |-h2A«[D(a/ + a?")-Ej]-4-D(D-.E«)P' ^ ^ — "'
Ces deux équations divisibles par (a/ — x'') ne contiennent plus que la somme des racines (a:' -f- x") et le produit x' x"^ auxquels on substituera leur valeur tirée de
l'équation (a)
Atf'4-C Aa'-hC
Chassant le dénominateur, on obtient deux équations du troisième degré en ordonnant par rapport à a :
Iû'[AË(2Aj: -f. E)] -4- û» [ ADE — 2CD ( Ax H- E)J -hû[2ACE.r + 4CF(C— A)+E»(2A-C)] — CD(2Car-f-E) = o.
«»[AE(2A/H-D)] + /ï»[4AF (C — A)4- D«( A -^ 2C)— aACDr] 4- a [2 ACEj H- DE (2 A — C)] — CD(2C7+D) = o.
L élimination de a entre ces deux équations donne Téquation du lieu qui semble devoir être du sixième degré d'après une formule donnée par Bezout ; mais elle ne monte qu'au troisième degré , à cause de la symétrie des coefficients.
Si a , i , c, d sont les coefficients de la première équation et û', b\ c\ d' ceux de la seconde, Téquation résultant de Télimination sera
{[ab').{bc') — [ac'Y -^ {ad!).[ab')]{cd')
^[{ab')[cd^)^{ad^r]{adf)^o (*).
Chacun de ces déterminants [ah' — A^'), (bcf — ci'), etc., ne monte qu'au premier degré parce que les coefficients des termes du second degré sont égaux deux a deux et de
(*) Bezout, Théorie générale des cquaiions algébriques, p. 3oi ; 1779. J'ai Jonné cette indication. Tu.
{ 8o ) signes contraires^ donc la courbe cherchée est dU troi-^ sîème ordre.
2. Cherchons ce que devient le lieu lorsque le point est au foyer.
L'équation générale est , en prenant pour axe celui de la courbe et l'origine au foyer,
yi ^ ar» (i — A») — npk^x-^p^^ = o,
p désigne la distance du foyer à la directrice et h le rapport des distances d'un point de la courbe au foyer et à la directrice.
Faisons, dans les équations (5) et (6),
A = i, C = (i— ^»), D=ro,
la première devient
a»(/?** — ar) — (î — k^)x — I2/>A'* = O,
et la seconde
à^y — apk^ -+- (i — k^)y = o»
Éliminant a entre ces deux équations, nous aurons
^» (l — 3 k^Y = (i — A») ( pk^ — x)a: — ipk' {pk^ — ^).
Le caractère
B* - 4 AC = — 4 (i — 3 k'Y (i — p)
donc la courbe peut présenter les trois variétés des conl-» ques et est de même espèce que celle dont elle provient^ Si l'on prend pour équation de la courbe
û» j» -I- ^2 (x ~ cY ^ a'b'=z o, l'équation du lieu deviendra , en remplaçant k par - et
La coordonnée du centre est
2rt*
Le grand axe et le petit axe s'obtiennent en prenant la moitié de la différence des racines de I équation {7) et en mettant la valeur de X dans la même équation , Y donnera le petit axe.
Ainsi
Pour passer de Fellipse à l'hyperbole, il suffira de changer J* en — i*.
Pour une parabole dont Téquation est
r^ation du lieu sera
Note, Si dans Téquation (7) on fait oh trouve
X=z1lC\
*insi la conique passe par le second foyer.
Annulant une des quantités A , C , D , E le lieu devient ^ïie conique.
Knn. de Mathémai., t. XVÎÎl. (Mars 1859. ^ 6
