III I

0m fjim fin ' ' ' ^m

a^ b,. ., /éUit les ternes d*ine progression arithnétiqie croissaile; Pa& m. LEBESGÙE.

Maintenant que les dérivées sont introduiles datifi les cours de mathématiques, et que par suite les aires paraboliques et hyperboliques se détermineTit en passant d'une dérivée à la fonction primitive, peut-être conviendrait-il, à l'article des séries, de déduire la règle de convergence et de divergence de la série

Il I 1 N IV ^ •

de lu considération de Tftire d'un segjâ&nt compris entre la

courbe d'équation y = — » l'axe des x et deux ordonnées.

Tout en obtenant la règle de convergence et de divergence, qui reste la même quand i, a, 3,. . •) sont remplacés par a, a-^-â, a + ^^v) ^*^^ aurait la valeur approchée d'un nombre limité de termes consécutifs.

Pour y = - (coordonnées rectangulaires), l'aire est logi, pour^ = -;;;; l'airc est

Si maintenant on fait /=a4- (n — i)d, etque l'on nomme y,, j^t, ysvî Tn les coordonnées équidistantes qui répondent aux abscisses Xi = a, arj = fl -f- d, ar, = a 4- a d,..t,

( 83 ) 3C„=a-f-{« — i)d, Faire du polygone formé on joignant les points de la courbe qui correspondent aux abscisses .r„ Xf , . • . , a:„ sera

Cette aire se compose, i^ do F^ire hyperbolique déterminée plus haut ; 2^ d'une somme de segments formés par les cordes qui unissent les sommets consécutirement deux

à deux, somme toujours bien plus petite que - {/t — Jn)^

ce qui se voit immédiatement sur la figure. On aura, en représentant par S cette somme de segments , i** pour m =r i

2® quel que soit m

8 {m — i)Sl^^^^ ?^J'

Pour m = i, l et log / devenant infinis, la série - -4- T 4- - • • • 5 prolongée indéfiniment, est divergente.

ï I . /'"■* Pour m <; I , le terme — ; — i — r-r • 7-—- devient ^7 :»

c'est-à-dire infini aussi bien que /, il y a encore divergence.

Pour w >• I , j^^ tend vers zéro , et il y â convergence

quand / tend vers rinfini.

Cette démonstration, qui est bien connue > pourrait être introduite dans les Élémepts. Si je la donne ici, c'e&l pour avoir occasion de faire remarquer qu'il y a un vice de rédaction à la page 465 des Noux^elles j4nnales, i858.

(84) La formule à employer est celle d^Euler :

Il t ^ , I A B

i-h— +-:3 + ...4— =^C-hlog/H 7^, + ^-?— ••»

où C = o, 577, . . . ^ A , B, C. . . étant les nombres de Bernoulli.

La formule exposée plus haut donne

iH- ~ -t- ^ -h. . . 4- - = 0,5 -f- log /i -h — -h S.

En négligeant S, la valeur o,5 4-log/iH diffère

peu de celle d'Euler.

Comme on a aussi

H---4-.. .4-- = o,5-f-logflH h S,,

2 a :La

d^où

H---H...H ^ — = o,5-+-logfl h S.;

il en résulte

~ H-. . . -h - = -î logfl -f- log/ï + -î. H- S — Sk

a n lia ^ ^2/1

iH h...-4--=iH f-.. -¥

H '— log a -f- log ^ H h (S —S, ).

Pour a = 20 on aurait, en négligeant S — S| ,

qui diflfère à peine de celle d'Euler. Mais cette dernière af l'avantage d'être un cas particulier d'une importante formule générale, qui introduit dans le calcul des séries le» nombres de Bernoulli [Calcul différentiel, chap. V).

«UBSTION D'mNEN A L ÉCOLE POLYTBGHNI(|l]B (1858);

Pae m. BEYNAC,

Professeur.

Si Vonjfait tourner un angle droit dont le sommet est sur une courbe du second ordre, et que dans chacune de ces positions on joigne les points d'intersection des côtés de Vanglc av^ec la cow^be, par des droites, toutes ces droites vont se couper au même point de la normale à la courbe passant par le sommet de l'angle droit.

SOLUTIOK.

Si on rapporte la courbe à la tangente au sommet fixe et à la normale qui passe par le même point, son équation est (0 r*H- Bjf/H- Cj?'+ Ea: = o,

car la courbe passe par l'origine, et pour x=o^ jr doit passer deux fois par zéro.

Soit y — mx = o l'écjuation de l'un des côtés OA de

l'angle, y H x'= o est celle de l'autre côté OB.

Le produit

(2) y—'lm j xr — x*=:o

représente le système des deux droites OA, OB. La différence des équations (i) et (2) est celle d'un lieu passant par un point commun aux deux premiers. Cette équation

est

f B-f- w ^1 x/-f-{C-f-i)x»-f- Ej-^o.

Divisant par x, on supprime x = o qui représente l'axe

(86) des y, et Ton a

ou Téquation de la droite AB. Pour y =zOj on trouve

x= — ^ " = constante C-Hi

et indépendante de mf ce qui justifie le théorème.

Remarque /. On déduit de là un moyen très-simple de construire une normale ou une tangente en un point donné d'une courbe du second ordre en ne faisant usage que de Féquerre.

Remarque II. Le résultat précédent s'appuie sur ce seul fait que dans Téquation (2) le coefficient de x' est constant et égal à — i. Or ce coefficient provient du produit des coefficients angulaires des droites OA, 06. Le thëorèmci subsiste lors même que l'angle AOB n'est pas constant ; il suffît que le produit des coefficients angulaires des droites qui forment Tangle soit constant. C'est ce qui arrive quand le point O est le centre d'une courbe du second ordre et qu'on mène par ce point des systèmes de diamètres coqjugués.

Remarque III. On voit aussi les avantages qu'il y a à rapporter une courbe à la tangente et à la normale correspondante.

Note du Rédacteur. Le théorème appartient à Fregier [Annales de Gergonne, t. VI , p. 229, 1816; Nou- %^lles Annales ^ t. Il, p. 186, i843). Il y a un théorème analogue pour les surfaces^u second degré. En général, toute corde inscrite dans une conique enveloppe une conique , lorsqu'elle est vue d'un point fixe sous un angle constant (Poncelel) ; ce point étant sur la conique et Tangle étant droit, la conique enveloppe se réduit à un point.

NOTE SUR LES fiQUATIONS DD OUATMENE DBfiRI)

Par m. MiCHiiEL ROBEftTS.

J'ai lu avec beaucoup d'i^i^rêK les remarques que M. Lebesgue vient de publier dans les Nouvelles Annales (t. XVII, p. 384-39i) sur la résolution des équations biqiladra tiques, et aussi la Note de M. Aronhold qui se râ|)pdHe au mèine sujet. Dans ce qui suit, je me propose de faire voir comment la solution de ce dernier peut être ramenée à celle d'EUiler, Pour cela je donne Ténoncé ^u l|liéorèmQ suivant sur les déterminants, qu'on peut déoipntrer facilement. Soit

'll-i-fl -^«—l

On sait que A a pour facteurs les valeurs que prend la fonction

en substituant pour a> successivement les racines de l'équation

{*) Si lesxj, *%)•"} 'a sont disposés symétriquement, alors U faut que n soit un nombre impair.

(88) Considérons maintenant réquation

et posons

a*w=zb^ — acy

et si A représente le déterminant de M. Aronhold, on a (en écrivant dans son équation 9 au lieu de X)

ce qui donne

— • —7— — ■ azs' a de

Mais si 61, 69, ds sont les racines de Téquation

A=:Oy

nous tirons, en vertu du théorème que je viens d'énoncer,

(o) est une racine cubique imaginaire de runiié),.jBn

sorte que

Or les seconds membres de ces dernières équations sont précisément les racines de la réduite du troisième degré dans la méthode d*Euler.

APPLICATION DE LA NOUVELLE ANALYSE AUX SURFACES DU SECOND ORDRE

(TOir p. 49) ;

Par m. PAINVIN,

Docteur es Sciences.

§ lU. — Intersection d^un plan avec une surface du second ordre.