L'équation de la surface étant toujours

!/!„ x\ H-ûjjXÎ -h «33 xj '^a^^x\-+^ 2fl[„j:,j:j \ 4- 2a, 3 Xy x-i -h 2^,4 JT, J74 -H 2 «33 x^x^ I = O, -H 2 au x.iX^'\-i «34 OTs Xi )

je prendrai les équations de la droite sous la forme générale

, . j /w, JT, -4- /Wj Xj -f- /W3 OTa -t- /W4 X^ = O,

/ /î, .r, -f-TÎ, J73-4-/Î3 .T3-+-/?4 ^4=0.

Or,- si l'on pose

(3) A;,,= /7^/W, — /7,/Wr, d'où Ar,,= — A,.r;

on déduira des équations (2)

( A,2d", -f- A,3 j^3 4- Am jr4 = O. En éliminant x^ et jr, entre les équation» (i) et (4)

Ann, de Matftémnt.. t. XVIH. (Janvier 1859. > 3

( 34 ) on obtiendra les — des points d'intersection de la droite avec la surface-, on arrive ainsi à l'équation

après avoir posé

M33=fl,, AÎ3 -h ûaa AJ,-4- «33 AJ, — a^ia Aj3 A,3

— 2 «,3 Aa, Am -^ 2^23 A, 2 A,3 ; M44= a,i AJ^ + «22 AJ^ -4- fl44 AJ, — 20,2 A^, A,4

(Oj / 2flfi4 A21 A24 — 2€Z24 A12 Ai4 ;

M34 =£ï,,A33A244-tf2a Ai3Ai4-hA34 AJ I «12 A2Î A|4

fl|2 A24 A|3 lix^An A24— 'Ûfi4 A21 A23

— «23 A12 A14 — «24 Au A13.

Or, si Ton désigne par V le déterminant »ii «12 «13 «M wi n^

/Wl /Wj /W3 /7?4 O O

où Qr^, = a,,r5 on constate, par un calcul facile, que

d\ daj dV

da..

Par suite, Téquation de la projection sur le plan x^ x^ pourra s'écrire

,^^ d\ , dV d\ ^

£/«44 £3to43 «to33

On trouverait, par un calcul semblable, pour les équa-

lîon§ des projections sur les deux autres plans coordonnés

\ da,^ da,^ è&i„

-—X — 2-j— jr, J:4-^-.x-^4 = «• aa44 aa*, oiaii

Avant de discuter ces équations, je signalerai d'abord les relations

d^V ^\ dV /^v\^.

da^^don da^^da^^ \da^^} '

] da^iida^^ da^^ dOfi \dai:,/

d^V ày^àV^ f^JLYdandOii dûii da^i yda^^ J

^"^ ' rf^;;;^^ =("""' -"""')''

= (/?3 Wa— - njm^)\

\ dau da^^

t 29. Première hypothèse. - — est différent de zéro,

La condition dé réalité des racines de Téquation (8) est exprimée par Tinégalité

Si l'on admet que (/ii/n, — rifmi) soit différent de zéro, cette inégalité pourra s écrire

( », W2 — Wj /»i )' V < 0 ;

(36) d*oùron tiroia les conclusions suivantes :

Il n'y a pas intersection , si V ^ o ; Il y a intersection ^ si V <^ o ;

Il y a tangenre^ si V = o ;

rar il résulte de la dernière hypothèse V = o que la projection, sur les trois plans coordonnés, des points d'intersection delà droite avec la surface se réduit à un point unique.

30. Si Ton avait (wj m, — n^mi) = o^ l'étude de la projection sur le plan des Xi x% devrait être abandonnée,* la droite est, en effet, dans un plan parallèle au plan des X, J?2 (4).

Mais les équations (9) vont permettre de résoudre la question. Les conditions de réalité des racines seront exprimées, pour la première, par

^ («1 W3 — ^^3 Wi)' V<;o;

pour la seconde, par

Or, on ne saurait avoir en même temps (//, ///? — /ijm,) = o cl (//j /W3 — n^nii) =0i car alors les deux plans représentés par leç équations (2) seraient parallèles et ne donneraient plus une droite. On voit encore, dans ce cas, qu'il y aura non-intersection y inteisection ou tangence^ suivant que V sera positif, négatif on nul.

31 . On pourrait cependant avoir (mj = o et /i^ = o), auquel cas la droite serait parallèle à Taxe des Xx ; la seconde des équations (9) donnera alors la réponse à la question.

Remarquons d'ahord qu'où ne peut pas supposer en

(37) même temps

m-i n^ — W3 /la = o ;

rar les équations (2) seraient incompatibles. Parlant de là on se trouve encore conduit aux conséquences que je viens d'énoncer.