En faisant

r = o dans l'équation

N = o, on a évidemment

Pi, p,, . . .^ Pn sont les points- racines de Gauss.

Si l'on prend sur Taxe des a:, à partir de l'origine, un point B tel que AB = r, on a

r — pi , r — pfy. . ., sont les distances points-racines au point 6.

(1.3) 3. Soient données un nombre quelconque de courbes algébriques de degré quelconque situées dans le même plan. Pour fixer les idées , nous ne prendrons que quatre courbes données par les équations en x^ y :

de degrés respectifs n^^ «j, W3, ^4, où «4 est le nombre le plus grand •, formons cetie cinquième courbe qui sera aussi de degré /Ï4 :

les A sont des constantes arbitraires. Désignons par /?, q^ r^s ce que deviennent P, Q , R , S en posant y = o , alors la même supposition donne

lip-h-hg 4->3r-+->4 j = o (i),

p, ^, r, 5 sont des fonctions de x seulement.

Désignons par /7|, q^^ rt , s^ ce que deviennent;?, q, r, s en prenant a: = f^ soient a, |3, 7, cî quaLire poînts^-racines de l'équation (1), on a

^i A^a -+- ^2 '/a + ^3 ''a -+- ^4 ^« = O, '><iP^'\rhg^-h >3'/3-+-^4 J^ = O, ^i/?y ■+->2yy -^hr^ +^4-fy = O,

Eliminant les X on a la relation

Pa> ^«» ^«» '^a Déterminant ( ^ <" *- <"

/^y. 9y. ryy ^y

Afin, de Mathémat,, t.WIII. (Mars 1859.)

Or tous ces termes sont des produits segmentaires dans les courbes P, Q, K, S [voir p. 1 12).

On a donc ici une relation segmen taire générale indépendante des X et s'appliquant à toutes les cinquièmes rourbes formées par vo/e d'addition.

Les quatre valeurs a, /3, y, d sont susceptibles de six combinaisons binaires-, on a ainsi six de ces relations se ghientaires^ lesquelles ayant quelques segments communs, fournissent d'autres relations où le nombre des segments est diminué.

Les nL donnent — ^ -^ — ^ ; ^combinaisons:

on a donc généralement parlant ~^^^ ^-^ ^-^

relations segmentaires.

Remarque, Quatre quelconque de ces cinq équations des courbes étant données, la cinquième s'en déduit par voie d'addition. Soit

>^ P + )^i Q 4- >3 R 4- Xi S = T = o, on déduit