Soient

..-hf,,

désignant par T la cinquième courbe variable , on a

T=: Aj«*-h ... +F5,

d'où (p. 11 3)

F5 = >. F, -h X,F, + >,3 F -h >4 F,. Si

F. = F, = F3 = F,, alors

Si l'on prend

>.. + >j -H >3 4- >4 = I ; on a aussi

Fs = F..

Alors le produit des distances à l'origine des pointsracines situés sur l'axe des y est le même daus toutes ces courbes. Lorsqu'il n'y a que deux courbes P et Q, on peut

toujours choisir sur Taxe des }^ une origine lelle que Fs devîeat égale à Fi. Lorsque les deux courbes sont des coniques, celte origine porte le nom de centre d^inuolulion.

8. P, Q, R, S pouvant représenter des surfaces, on vient à des conclusions analogues.

Note. Nous Jie possédons qu'une géométrie étriquée; quand aurons-nous une géométrie fînîlésimale, infinitésimale, embrassant toute rétendue? C'est la tâche et même le besoin de l'avenir : car la besogne s'allonge et nullement la vie •, les divers genres d^ambitions , forces motrices intérieures et extérieures de la société actuelle, laissent peu de place à la vie méditative et même aux soins de la vie physique. La limite assignée par M. Flourens restera encore longtemps parmi les pia desideria. Cependant cette limite a probablement existé dans les temps primitifs; elle est assignée de Dieu, cent vingt ans (Genèse, V, 3).

QUESTIONS

462. Dans un tétraèdre, le produit des sinus des deux angles dièdres opposés est proportionnel au produit des arêtes de ces mêmes angles (Mention ).

463. Soit l'équation .r" -+- Ox x"-^ + £7,»"-' 4- . . . H- fln-i X -H fl» = o .

Si

(/i — i) a; — (au- 2) fl, < o ,

l'équation a au moins un couple de racines imaginaires. (TOEPLITZ.)

( i'7) 464. Démontrer que 1 équation de la sphère circonscrite à un tétraèdre est

yi^ aP sin (7, $) sin (ay, py) sin (ac?, p^) 2à sin(a,p) ~°'

a, (3, y, J sont les premiers membres des équations des faces mises sous la forme

X cos a -^ y ces «' -f- z cos û'' — /? = o ,

(7, J) représente l'angle que fait la face y avec la face â, (a/, Py) angle que fait l'intersection des faces a et y avec l'intersection des faces (3 et y. (Prouhet.)

(«^)[2aH-(«--i)5]

«+« — 15 a...a-î-(/i — 3)^. a-4-(/î— a)<î Si l'on fait

on retombe sur la question 432 (t. XVII, p. i85).

(MiCHAEL ROBERTS.)

466. Par un point fxe A pris sur Tintersection de deux flans fixes ^ on mène dans un de ces plans une droite variable^ et dans le second plan , par le même point A , une droite perpendiculaire à la première droite^ puis toujours, par le point A, une troisième droite perpendiculaire aux deux premières -, démontrer que l'enveloppe du plan des deux premières droites est un cône du second degré 5 et de même la surface écrite par la troisième droite. (iMAc-CuLLAGii.)

( "8) Application à la sphère de ceiilre A. (Cayley.)

467. Lorsque dans un tétraèdre deux hauteurs se rencontrent, les deux autres hauteurs se rencontrent aussi.

468. Faire voir que p étant un nombre entier positif quelconque, on a

mP mP{mP — iP) mP (mP — iP) [mP — ip ) ^~"^ ~Ïp xpT^p ip.^.Zp

(BouRGET, prof, de Faculté à Clermont.)

460. Soit le triangle ABC et D un point sur BC, on aÂÂ\CD + AC* . BD — ÂÏ)*.BC=BC.CD.DB.

SOLUTION DE U DBIIXIKVB QUESTION DE M. STREBOR

(?0lr t. IX, p. 18i);

Par m. GENOCCHI.

Théorème. Si la fonction

r = logtangK-H'^V

étant déi^eloppée suivHint les puissances de x , donne la série

le développement de x , suii^ant les puissances de y, sera Car, on a

(TT .r\ /n x\

tang

( "9) il s'ensuit que la fonction

j = logt;.ng(^ + i)

changera de signe avec a:, et que par conséquent son développement ne doit renfermer que des puissances impaires de celle variable. En faisant

et substituant les expressions imaginaires connues, on Irouve

i/ z=z lang t :

mais

donc

donc

V~it'

V — 1 ti'' =• ■ 7= !

On voit, par la comparaison de ces deux équations, que si l'on changea: en y ^ — i, on doit aussi changer y en J^\/ — I : en supposant donc

et remplaçant x par y y — ï, y par x V^ — i, on en conclura

X r.ii r7, y — a, y' -\- o^ .r'' — , , . .

( ï^o ) Les coefficients aj, a^^ a^y . . . , rentrent dans ceux que présente le développement de la sécante, et qui ont été étudiés par Euler dans son Calcul différentiel, 2® partie, §§ 224-226. Ils ont beaucoup d'analogie avec les nombres de Bcrnoulli. On les exprime de la manière suivante par des séries et par des intégrales définies :