Seconde hypothèse. -, — est nul
Nous aurons deux cas à examiner.
Premier cas : ; — ^ o.
La première des relations (10) donne, dans le cas aciuel,
^0,3 ^û„ \datj
et, comme-; ; — est différent de zéro, il en résulte aue
da^^da^^ ^
d\ V et - — sont nuls en même temps. Si V est différent de
zéro, il sera négatif^ et on voit alors qu'il j a intersection, mais l'un des points d'intersection est à l'infini.
Si Ton a V = o, il en résultera - — = o, et réciproque-
ment; les — des points d'intersection sont tous deux infi-
dV nis, pourvu que -r — soit différent de zéro. Les deux dernières équations ( i o) donnent dans cette hypothèse
dV rfV
da^2 ' dOn
et on voit alors, (8) et {9), que la droite est tangente à Tinjini ou asymptotique à la surface.
Lorsque, V étant nul, on a aussi - — = o,^ on en con-
(38) dut comme précédemment
dV d\
Puis, d'après les relations
j €f y jv dv i^^y
da^x dosy '^ doxi da^^ \rfa,3 /
dan da„ dan da^
on conclut encore
jrfV d\
àai% ' daxi
Or, le déterminant V fournit les deux équations
/ dS dV dV dy
1 aâ|3 oasi aajiz 004 s
d\ dV dV dV
mx— hiW2-T HWg-- h/W4-; — -=0,
aâi, aa22 0^32 0^42
qui, en ayant égard aux conséquences déjà établies, donnent
dy
dan ~"
On trouverait de la même manière
rfV da^x
Donc, les trois équations qui déterminent les points d'intersection de la droite se réduisent à des identités, c'està-dire que la droite est tout entière située sur la surface. Ainsi :
( 39 ) Lorsque -r — = o, et -; ; — c- o,
Il y a intersection^ si V <[ o ;
JV
Il y a tangente à V infini ^ si V = o et -j — ^ o
£/aj
Il T a coïncidence^ si V = o et -; — = o.
