H-54|-H... + ^-^>(/H-inieiiime), 120 /ï

(^) Vient de publier dix-sept tessons sur l'a/^fcre supérieure moderne, préliminaires d'un ouvrage sur les Bigh surfaces, faisant suite aux Hi^ curves ; clarté extrème>prpfondeur et élévation. Nous en parlerons souvent.

( 1^3 ) d'où par soustraction

S„==H.-i-Hi4-...-f-->/i[(i + /r)"~i].

par soustraction

2 3 « ^ I ' « + lj'

c'est la solution de la question 482 (t. XYII, p. 434)* Posons

c"*=7H-i, nS=l.n^i, n=:'Al!i±}},

ainsi

^ ^ n In-h 1 f ^\

Or

donc

S,<H-/(/i + i); c est la solution de la question 453.

Le rapport arithmétique des deux limites est conslanl; le rapport géométrique approche de l'unité avec n croissant : donc la différence entre S„ et ses limites diminue de plus en plus.

M. Schlômilch fait observer que les limites logarithmiques peuvent s'obtenir par la considération des séries l(i-hx) et log (i — x) ; c'est ce qu'a fait l'élève Michaux (p. 68).

Le procédé de M. Schlômilch s'applique à la série

OL -\- n

DÉNONSTRATleN DE DEUX THtORÈMES DE N. STfifflBIt

(voir t. XVII, p. 484);

Par m. DEWDLF.

Théorème L P, Pi étant deux points quelconques situés dans le plan d^une courbe de degré w, les pieds des normales abaissées de ces deux points sur la courbe sont distribués respectivement sur deux courbes chacune de degré n ayant en commun n* — n-h i points fixes, ' sai^oir les [n — i)' points, pôles de la droite située à Vinfini^ pôles pri$ par rapport à la courbe donnée et n points situés à V infini.

Rappelons d'abord comment on détermine les pôles d'une droite par rapport à une courbe de degré n.

Soit F [x^ j) = o l'équation de cette courbe-, cette équation peut être mise sous la forme

Ç;. représentant l'agrégat des termes de degré r.

( t75) Si l'on mène une tangente à cette courbe par le point (a, j3), on aura pour déterminer les points de contact, les deux équation^

La dernière de ces équations s'abaisse au degré n — i et se met sous la forme

en posant

Cette coutie se nomme la première polaire du point (a, P) par rapport à la courbe.

Si le point (a, (3) parcouK la droite

(2) j=:AârH-Bi

on aura

p = Aa'fB;

ce qui permet de mettre Téquation (i) sous la forme

A— — \ a B — €lx dx l dy

qui estFéquation générale de toutes les premières polaires des différents points de la droite donnée.

Cette équation est satisfaite quelle que soit la valeur de a si l'on pose

{ »76) Ces deux courbes sont de degré (« -— i) et se coupent eu (n — i)* points»

Donc les premières polaires de tous les points d'une droite par rapport à une courbe de degré n passent par [n — i)* points fixes, que Ton nomiae pôles de la droite par rapport à la courbe.

Si la droite (a) passe à l'infini, les équations (3) et (4) deviennent

ou bien

, d¥ d¥ dF

dF dF

Remarque. Les pôles de la droite située à l'infini sont sur la courbe de degré (n — i)

dF dF

qui renferme aussi les points multiples de la courbe donnée. ( Théorème de Plûcker.)

Passons à la démonstration du théorème de Steiner.

On a pour déterminer les points où les normales à une courbe menée par un point donné la coupent normale* ment, les deux équations

F(x, r) = o, dF dF

Ces deux équations sont du degré n.

On conclut de là que par un point on peut généralement mener n* normales à une courbe du degré n. Ce faisceau de n' normales coupe la courbe en n^ points. Les ri^ points où le faisceau coupe la Courbe à angle droit

( '77 ) sont sur une courbe de degré n. On sait d^ailleurs (SALMdif ^ Nousfelles Annales y l. IX, p. 274) q^e les n* — n' points où le faisceau normal coupe la courbe obliquement sont sur une courbe de degré n(n — i ) .

L'équation (5) peut se mettre sous la forme

^dt d¥ f dF dF\

^d^'^'dp-Vd^—^dfj^

Si le point (a, (3) parcourt la droite

la relation

P=:Aa-hB

permettra de mettre l'équation (5) sous la forme / d¥ dF\ 1 dF dF ^dF\

c[ui est l'équation générale de toutes les courbes, lieux des pieds des normales abaissées des différents points de là droite (2) à la courbe.

Cette équation est satisfaite, quelle que soit la valeur de a, si l'on pose

dF dF

Ces courbes sont Tune du degré n, l'autre du degré [n — i) et se coupent par conséquent en n(n — 1) points fixes.

L'équation (7), en y remplaçant — par sa valeur tirée

de l'équation (6), devient

Ann. de Mathémat., t. XVIII. (Mai 1869. ) 12

(.78)^ Cette équation est satisfaite si Ton pose

ce qui prouve que n des n{n — i) points d'intersection des équations (6) et (7) sont sur la droite donnée. L'équation (8) est aussi satisfaite si Ton pose

dF

mais alors d'après l'équation (6) on a aussi

dF

Donc, parmi les n{n — 1) points d'intersection des équations (6) et (7), {n — i)* se trouvent à Tintersection de

dF dF

— — = o et — = o, et ne sont, par conséquent, autres que

les [n — i)' pôles de la droite située à Tin fini par rapport à la courbe donnée.

Nota, Je crois que Ténoncé donné dans les Nous^elles Annales est inexact (t. XIV, p. 23 2 ). II ne peut y avoir» points à r infini.

En effet à chaque point à linfini correspondenf des asymptotes parallèles pour les courbes des équations (6) et (7). •

L'équation (6) ne peut donner que [n — i) asymptotes étant de degré [n — i). D'ailleurs les équations qui donnent les coefficients angulaires de ces asymptotes sont

dx dy '

dx dy

Il est évident que toute valeur de c différente de A ne peut satisfaire en même temps à ces deux équations. Les

( '79 ) points à Tinfini sont donc tous sur la droitej^ = Ax-HB, mais pour quil y ait {n — i) points à Tinfini, Téquation (a) devrait avoir n — i racines égales à A, ce qui n'a pas lieu en général.

S faut donc énoncer le théorème ainsi :

Étant donnée une droite quelconque dans le plan d'une courbe de degré n, les pieds des normales abais-^ sées des différents points de cette droite sont distribués respectii^ement sur des courbes chacune de degré n ayant en commun n* — n points fixes ^ (n — i)' de ces points sont les pôles de la droite située à l 'infini et n de ces points sont sur la droite donnée.

En appelant podaire d'un point par rapport à une courbe de degré n la. courbe de degré n qui renferme les n^ points où le faisceau normal coupe la courbe à angle droit, on pourrait dire : un point a par rapport à une courbe une infinité de podaires toutes de degré n^ et chacune d'elles est podaire au point fixe par rapport à toutes celles qui la précèdent dans la série.

Théorème II. Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à une courbe de la classe n est une courbe de degré n' (*)•

Soient

^{Pj g) = Of px-i- qxz= I,

les équations d^une courbe de la classe n. On sait que

F (p, q) doit être de degré ».

La droite py -h px = i dans chacune de ses positions

est tangente à la courbe. Xes coordonnées ordinaires du

sommet de l'angle droit circonscrit à la courbe seront donc

données par les deux équations ^ (0 /?.Y-f-7,X= I,

' [->') iEi,Y + 9r,X=l,

{*) Dans les coniques , ce lieu est un cercle double, Tm.

distance à la droite fixe du sommet du polygone déterminé par ces deux côtés.

Dans ces théorèmes , le mot somme doit être pris dans le sens de somme algébrique.

Relativement aux courbes planes , on voit que :

1*^. Si Ton considère une courbe comme un polygone d'aune infinité de côtés infiniment petits^ V intégrale qui donnera la somme de tous les triangles qui auraient pour bases ces côtés et pour sommets communs un point arbitraire de son plan, divisés respectii^ement par le produit des distances de leurs sommets à une droite fixe, sera constante.

2**. Si l'on projette chaque élément d^une courbe sur une droite fixe I par des parallèles de direction arbitraire y l'intégrale qui donnera la somme de ces pro^ jections divisées respectivement par le carré de la distance de Vêlement correspondant à la droite I, sera constante, quelle que soit la direction des parallèles,

3^. Si l'on trace une droite P dans le plan d'une courbe, Vintégrale qui donnera la somme des triangles ayant pour côtés cette droite P et deux éléments consécutifs de la courbe, dii^isés respectivement par le produit des distances de ses sommets à une droite fixe , sera constante, quelle que soit la droite P.

On doit remarquer que les courbes dont nous parlons ne sont pas nécessairement soumises à une définition mathématique : nos théorèmes ont lieu pour des courbes tracées au hasard.

Deux cercles étant concentriques, si d'un point de Tun on mène des tangentes à l'autre et que l'on trace la corde de contact, on forme un triangle dont Taire est constante.

La transformation homographique donne ce théorème :

Lorsque deux coniques ont un double contact suivant

{ .83 ) HUti droite T, et que d*un point de Vune on mène des tangentes à r autre y elles déterminent ai^ec la corde de contact de ces tangentes un triangle tel y que le rapport fie son aire au produit des perpendiculaires abaissées de ses sommets sur la droite I , est constant.

Si la droite I est à Tinfini, les deux coniques sont homoihétiques et l'aire du triangle est constante.

Dans l'hyperbole , l'aire du triangle déterminé par les asymptotes et une tangente est constant. Donc :

Etant données une conique et deux tangentes fixes, une tangente variable détermine avec celles-ci un triangle tel^ que le rapport de son aire au produit des distances de ses sommets à la corde de contact des tan-génies fixes est constant.

Deux rayons rectangulaires el la droite qui joint deux de leurs points d'intersections avec le cercle délcrminent un triangle dont Taire est constante. Donc :

Étant donnés une conique et un point O , si Von mène parce point deux droites conjuguées et que l'on joigne deux de leurs points d'intersections auec la conique, le rapport de l'aire du triangle ainsi formé au produit des distances de ses sommets à la polaire du point O sera une quantité constante.

Rappelons que deux droites conjuguées relatives à un point O'sont deux droites telles, que le pôle de Tune se trouve sur l'autre.

Si dans le théorème précédent la polaire du point O est à l'infini, ce point est le centre de la conique^ les droites qui y passent deviennent des diamètres conjugués, et l'aire du triangle construit sur ces diamètres est constant ( théorème d'Apollonius) .

Lorsque deux triangles a' b' c', a\ b\ c\ ont leurs côtés homologues parallèles, l'aire d'un triangle def k la fois

( i84 ) inscrit dan» Tun et circonscrit dans Tautre est moyenne proportionnelle entre les aires des triangles semblables. De là : Lorsque les côtés de deux triangles abc , ajbiCi se coupent deux à deux sur une droite I (triangles homologiques) ^ si Von inscrit dans l'un un triangle àef^ circonscrit à Vautrcj on a la i^lation

def ahcaxb^Cx

OÙ les lettres grecques représentent les distances des points correspondants à la droite I.

Si un triangle a b' c' àoul les sommets sont situés respectivement sur trois droites parallèles A', B', C se meut parallèlement à lui-même, il conserve une aire constante.

Donc ^

Étant donné un faisceau de quatre droites A, B, C, let trois points fixes sur cette dernière droite, si ton inscrit dans les trois premières un triangle abc dont les côtés passent respectivement par les points fixes, Vaire de ce triangle divisée par le produit des distances de ses sommets à la droite I donne un quotient constant,

La suite prochainement.

(Yoir page 118);

Par m. a. POITRAgSON, S. J.

Du séminaire de Vais. (Hautç-Loire).

Soient le triangle ABC et D un point sur BC : on a (a) ÂB^CD^-ÂC^BD — ÂD^BC = BC.CD.DB.

Ce théorème n*est que la reproduction du théorème suivant, démontré par Carnot.

Dans tout triangle, si du sommet de Vun quelconque des angles on mène une transversale à la base opposée [de manière quelle coupe cette base et non son prolon^ gement)^ le carré de cette trans\^ersale, multiplié par cette hase, est égale à la somme des carrés des deux autres côtés y multipliés chacun par le segment opposé de cette base y moins cette même ba^ multipliée par le produit de deux segments [Géométrie de position, p. 203).

M. Chasles [Géométrie supérieure, p, a33) a généralisé oe théorème en disant que :

« Etant donné un nombre impair (av -+- 1) de points a , t , c, etc. , en ligne droite , et étant pris un point quelconque m sur la droite ou en dehors , indifféremment, on a toujours l'équation

am bm

ab .ac.ad, . . bc.bd.be. , , équation qui devient , dans, le cas où

(2v+i)=3; les trois points étant B, C, D et A le point arbitraire,