Soit
1 équation rendue homogène d'une surface 5 P et Q sont des fonctions entières de x^ y^ z, a, et les axes sont rectangulaires.
L'axe des z est sur la surface ; car faisant
t reste indéterminé.
Soient Xi^ji^ Zi^Ui les coordonnées d'un point de la surface > on aura
les indices indiquent des valeurs particulières.
L'équation du plan qui touche la surface au point désigné est
df, ^ df, ^ df, df,
azi djTi axx dux
Si le point de contact est sur l'axe des z , alors
^i=Ji = 0,
et l'on a
^~''' 57.-^" ^-^" dii,-''' Ainsi l'équation du plan tangent devient
P.r-f-Qi^ = o, Pi et Qi sont des fonctions de z^ et w,*
( 193 ) Les équations de Id normale à la surface au même point a^i = ^1 = o sont, les axes étant rectangulaires,
Donc Féquation de la surface formée par toutes les normales à la surface partant de tous les points de z est
Toutes ces normales sont parallèles au plan xy\ c'est donc un conoïde de degré r -f- 1 , si r désigne la plus haute puissance de z dans Pi et Qi .
Si z ne monte qu'au premier degré dans Pj et Qi , le conoïde devient un paraboloïde hyperbolique. Ce théorème a été démontré par M. Chasles lorsque la surface donnée est réglée et de second degré {^Correspondance mathématique de Qiiételet^ P* 97? § 7^? iSSg).
Un paraboloïde hyperbolique donne un second paraboloïde hyperbolique, ce second produit un troisième rencontrant rectangulairement le second et est tangent au premier; de sorte que ce troisième reproduit le second et ainsi de suite.
SÉRIE DE TCHEBICHEF.
Bul. de VAcad. de S.-Pétersbourg, t. XVII, n» 17, p. 29. Octobre i858.
Soit
fonctions affectées d'erreurs quelconques; M. Tchebichef trouve le développement par la méthode des moindres carrés (*).
(*) C'est la véritable méthode d'interpolation; elle tient compte des. erreurs possibles dans les mesures. Tri.
Ann. de Mathémat,. t. XVIIl. (Mai 1859. ^ l3
( «94 ) Faisons successivement
ces valeurs étant affectées d'erreurs égales.
u se développe suivant les dénominateurs de la fraction continue résultant du développement de Pexpression
X — h X — 7.h ' X — nh
Ces dénominateurs s'expriment à un facteur constant prés, et en prenant Ax = A par
oq a cette série
A» [x — h) (x — a A) (a? — wA — h) [x'-^nh — 2/1)
^^{x■^k){x^^h){x'^3h){x'-nh^h){x—nA^2h)(x'^nh''^
Les signes S s'étendent de 1 = 1 k i= n. Désignant les fonctions
A(x — A)(a: — /ïA — A), A'(ar— A},. . . , A'
par A% A% A'^, etc., on a
A'=(2/ — i)A(2ar— /îA — A}a'-»
( 195 ) d'où l'on tire
A' = A(2a7 — nh — A),
A'= 3A» [VLX — nh^ ky-^in' — i) A*,
A» = iSh^ ( 207 — /ï// — A)3 — 3 ( 3/î» — 7 ) A' (2x — «A — A) '
A* = I o5 A* ( 2 X — «A — /i)^— 3o ( 3 n^— 1 3) A« (2 x — /zA — A)»
+ 9 («»-!)(/»» -9) AS A^ = 945 A* {2x — nh — A)*— io5o («» — 7) A' (2^— «A — A)»
+ i5(i5«* — 23o/i» + 4o7) A*(2j: — nh — ~A).
Le développement en fraction contînae de l'expression 11,1 I
