Soient maintenant

Km, de Mathémat., t. XVIH. (Juin iSSg.) 1 5

les équations des trois eereles , et soit

ré(juation inconnue du cercle qui les coupe à angle droit , Je suppose que ces équations aient la forme indiquée plus haut , chaque coefficient faisant connaître par son indice le cercle auquel il se rapporte, et les coefficients sans indices appartenant au cercle inconnu. On aura, entre les coefficients a , & , e , e les trois équations

ifCi — 2bbi — 2Cf, -h ea, = o, ae^ — ^bbi — 2 ce, -H ecrj = o , ae^ — ïbbvi — 2ccy -*- ea^ •= o.

Entre ces trois équations et Féquation U = o on a {x^ -4- j') -j- 2 ^ jfs -H 2 cjz 4- w^ = o, il faut éliminer a, 6 , c , a. On sait que le résultat sera

Jr»H-j'

— arz

--yz

Telle est l'équation cherchée. Si on la transforme, en multipliant par x, / ou z les éléments des diverses colonnes et ajoutant aux éléments d'une colonne les éléments d'une autre ou de deux autres , on obtient

^,z-4- 6, j:-h c, j^ hyZ'\-a^x c^z-^axy «i e^z-^-b^x-if-c^y b^z -^ a^x c^z-^-a^y a^

ou bien

ou enfin

dt dx dy

//U, rfU, £/U=

dz dx dy

riUs rfUs rfUs

dz dz dz

</U, ^U. dU,

dx. dy dz

rfU, r/U, ^OJa

cfUj ^U3 ^Ua

rfx flfy^ ^2

Remarque I. En transformant le déterminant, ou a introduit le facteur z^ à tous les termes de l'équation , puis supprimant le facteur 2*, il reste le facteur com-* mun z.

Remarque II. Si l'on considère la tangente menée au point (— > — ) du premier cercle et les tangentes aux

points (— > — I et (— >— ) du deuxième et du troigîème

cercle, la condition pour que ces trois droites se coupent au même point est^ comme on le voit aisément,

rfU, dx,

dMy

rfU, dz,

dV, dx.

dV, dz.

dM,

dy.

dV, dz.

( 2a8 ) équation tout à fait analogue à celle qu on doit trouver, et dont on pourrait peut-être tirer parti pour résoudre la question proposée.

La solution qui précède suppose que les axes des coordonnées soient rectangulaires : mais il a été démontré par M. G. Salmon (t. XVII, p. gS) que le déterminant

rfU,

rfU.

djr

dV,

dz-

dV,

dU,

dV,

est un coyariant des trois courbes Ui , Uj , U3 : en Tégalant à zéro, on a donc toujours la même courbe, quels que soient les axes.

L^ équation du cercle orthotomique à trois cercles doQnés a été mise par M. Bribschi (t. XY, p. 4^3) sous une autre forme remarquable qu'on peut déduire de la précédente.

Soit

Téqùation de la polaire de Torigine des coordonnées par rapport au cercle U *, on a

rfU.

Soit

dz 1 = 0

Téquation de la droite qui joint les centres des cercles Ui ? Us •, les coordonnées de ces deux centres sont respectivement -^ ^et '^ -', donc la ligne des cen-

très a pour équaliou

ou enfin

donc

par suite

du, ûfU,

rfU3 dV, dx dy

rfUa r/U3 Éte dy

Soient de même

les équations des polaires de Torigine par rapport aux cercles Uj et Uj , et

/w .:= o , /i = o les équations des droites qui joignent les centres des cer-

{ =^3o ) clés U3 et Uj , Ui et Uj ; on aura évidemment

/> H-mp-f- «v =

l'équation du cercle orthotomique prend donc la forme

Note. MM. Richard Oxamendi, Cremona^ professeur à Crémone, Ragoi])neau, cajpitaine d'artillerie 9 loseph Martelli (de Milan) emploient à peu près les mêmes considérations jusqu'à la page 227.

rfU.

rfU, dz

dV,

rfU, dz

rfUa

rfU, dz

8EG6NDB SOLUTION DB U QUESTION 406 (G. SALMOII)

(voir p. m) ;

Pau m. g. CHABIRAND,

Élève de TiDstitution JaufTret.

Soient

les équations rendues homogènes de trois cercles \ Téquation du cercle qui coupe les premiers à angle droit est donnée par la relation

dV,

rfU,

( a3. ) Je représente par X:^o FëquatioD du cercle cherché;

J'appelle -? - les coordonnées de son centre; j'appelle de même— 9 — ;.— 5 — ; -^^ — les coordonnées des centres

Zt Z| Z, Z, «3 23

des trois cercles donnés.

On exprimera que les cercles Ui = o, X = o se coupent à angle droit, si l'on exprime que la polaire du centre de X par rapport à Ui se confond avec la polaire du centre de Uj par rapport à X.

Ces deux pôlaii*es ont pour équations

dx dy dz

dX dX dX

dx dy dz

Développant chacune de ces équations et exprimant qu elles représentent une même droite, on trouve

h^ et -f^ désignant ici , pour abréger, les termes indépendants de -j -j -« - dans les équations

Les cercles Uj , U3 donnent semblablement

2?J?3 ■+- aura — ^[h 4- X) ~ <>•

Au moyen de Téquation

X = o, on petit éliminer ^^ successivement dans chacune de ces

( a3. ) trois équations, et alors elles devienDeot

^ dx

dV,

^ dx

d\], dr

Pour obtenir Féquation cherchée , il ne reste plus qu'à éliminer |, >î, ^ entre ces trois équations. Pour cela il suf6t d'égaler le déterminant à o. La proposition se Xrouve donc démontrée.

M. Joseph Bonnet, élève de l'institution Mayer, donne à peu près la même solution.

(voir p. 118) ;

Par mm. H. DE CHARDONNEL,

De Châlons-sur-Marne.

Et DARBOUX,

ÉlèTe du lycée de Nfmes ( classe de M. Dupain).

Soient SABC le tétraèdre proposé, AE, BF les deux hauteurs qui se rencontrent, H leur point d'intersection. Le j plan de ces deux hauteurs ABD, perpendiculaire aux faces SAC, SBC, sera perpendiculaire à leur commune inter- I section SC. Menons, par cette dernière ligne, un nouveau plan SGC perpendiculaire à AB, commune interseclion de SAB avec ABC et perpendiculaire par consé- i quent à ces deux faces elles-mêmes. Il est évident que ce \

( 233 ) plan contient les hauteurs SK, Cl; donc ces lignes se rencontrent. c. q. f. d.

Nota, La ligne GD, commune intersection des plans SGC, ADB, passe au point H comme troisième hauteur dans le triangle ADB. On voit, de plus, que le point L, intersection des deux dernières hauteurs, tombe toujours sur la ligne GD, GD, SK, CI étant les trois hauteurs du triangle SGC,

(▼olr page 116);

Par m. Emile FRANÇOISE, Élève du lycée de Caen.

Faire voir que si p est un nombre entier positif quelconque , on a

mP mP(mP — iP] ip 1P.2.P