SUR LA SÉRIE DE SCHWAB
Par J. de VIRIEU,
Régent à Saumur.
1 . Dans une note ajoutée à un article de M. Farcy (Noui^elles AnnaleSy t. III , p. 582), M. le Rédacteur s'exprime ainsi :
(( Il serait intéressant de trouver la limite de la série » de Schwab par un moyen direct (p. 585). »
Cette limite se déduit du théorème suivant :
Soit une série illimitée
OÙ le premier terme étant nul ou positif et le deuxième plus grand que le premier, chaque terme impair est moyen arithmétique, chaque terme pair est moyen géométrique^ entre les deux termes qui le précèdent immédiaiemeni; les termes impairs forment une série croissante, les termes impairs une série décroissante.
{ 235 ) Ces deux dernières séries ont une même limite qui est la limite de la sërie (A). Celte limite est égale au double de Tinvepse du plus petit des arcs qui, dans une circonférence
dont le rayon est ..-== sont sous-tendus par une corde
égale à — C'est ce que nous allons démontrer.
2. Les termes de la série (A) se déduisent des deux premiers au moyen des formules
«tn-f-i "4- «2»
/lï\ ••tn-f-i ^^ ««2» ' ,
\D) a^n+i = 5 flaii+3 = \Çin+i ^in+i •
3. Soit R le rayon d'une circonférence , U un arc de cette circonférence plus petit que le quadrant, R, U étant des quantités déterminées par
En désignant par ç un angle compris entre o et - tt, on a
«, = -COtf, a, =- COSéCii), U=rRy,
4'. Les formules (B) donnent de suite On en déduit d'abord par induction
( 236 ) formules dpnl la généralité est ensuite démontrée , eu faisant voir au moyen des formules (B), que si elles sont vraies pour n = t^, elles le sont également pourn = >'+i. Les formyles (i) et (2) donnent
(3) a,n^, « «,« = ^. ^„ tang ^^. ç j •
5. Les formules (i), (2), (3) peuvent s'écrire ainsi qu'il suit :
fJL.H\
tang
Vg' R/ I
sm
(6) «-.-«»= (i-|)tang(^..^)x^-
Sous cette forme , elles montrent que, en faisant tendre n vers Tinfinî, a^^ croît constamment, a^nJ^^ décroît constamment ; atru\.\ — «2» décroît constamment et indéfini- ' ment.
De plus la limite de la série (A) est - ou — •
Or 2U est le plus petit des arcs qui dans une circonférence de rayon -p==r ont pour corde R X 2 sinf ou
— ; ce qui démontre le théorème énoncé au commence-
ment de cet article.
La série de Schwab se déduit de la série (A) en posant
on a
et pour limite —
GONSIDiRATIONS GÉNÉRALES SUR LA QUESTION 406 (SALNON)
(▼oirp. SI*);
Pa» m. faure,
Capitaine d'artillerie.
Étant données trois courbes planes A, B, C ^ Vor^ dre m, troui^er le lieu des points de contact des courbes d'ordre m, qui passant par l'es points d^ intersection des courbes A ef B touchent la troisième C.
Une courbe passant par les intersections de A et B est de la forme A + ).B = o , X représentant une constante arbitraire. Soit x, , x\^x\ les coordonnées trilitères du point de contact de cette courbe avec G = o, l'équation de la tangente à cette courbe en ce point est
(l) C,ar, -hCîXjH-CaOTarz:©,
x,, Xf, Xz désignant les coordonnées courantes, Ci, C, , Cs les dérivées de la fonction C par rapport à ces variables, respectives , dérivées dans lesquelles on a mis x\ , x\ , x'^ à la place des coordonnées Xi, x^^ x^. La tangente à la courbe A -f- 1 B == o en ce même point sera pareillement
(A, -4- X B,) j?,-|- ( A2 + XB,) X, -j- (A3 -f- >B3)^8 = o ;
or, ces deux tangentes doivent être identiques*, donc fi désignant une constante,
!' A,-4-XB. + pC, = o, A2-f->B;-HfAC2 = o, A3 + XB3-hpiC,= o;
( 238 ) éliminant X el ^ entre ces équations , le résultat
Aj Bî Cj
sera le lieu des points de contact des courbes du faisceau A -f- IB = o avec la courbe C. La courbe que Ton obtient ainsi est de degré 3 (m — i), par conséquent par les points d'intersection des courbes  et B, on peut en général mener 3 (m — i) courbes qui touchent C.
La symétrie de l'équation (3) montre que, 52 par les points dUntersection de deux çuelconçues des courbes A^ B9 C on mène les i (m — i) courbes qui touchent la troisième, on obtiendra en tout 9 {m — i) points de contact situés sur la courbe (3) d^ordre 3 (m—* i).
On peut remarquer que la courbe (3) passé, 1^ parles points doubles des courbes A, B, C^ car les points dou^ blés de la première, par exemple, sont déterminés par les équations A, = Aj = Aj = o 5 a° par les points doubles de toutes les courbes passant par les intersections de deux quelconques d'entre elles A et B. En effet, les points doubles de l'une de ces courbes A 4- XB= o sont déterminés par les équations
A,H-XB, = o, Aa4->B,=:o,
As -h > B3 = o ;
si elles ont lieu simultanément, Féquation (3) est évi^ demmeut vérifiée , en observant qu'aux éléments de la première colonne d'un déterminant on peut ajouter respectivement ceux de la deuxième multipliés par X5 3" la courbe (3) passe aussi par les points doubles des courbes AH-XB-hfJiC = o. Cela se voit comme précédemment.
On obtient encore la courbe (3) en cherchant :
1^. Le lieu des points qui ont le même axe harmoniqi^e relativement à la courbe C et à l'une de celles du faisceau A +^B; car Féquation (i) est Taxe harmonique du point x\^x\^ x\ relativement à la courbe C, etc. (*);
3^. Le lieu du point dont les axes harmoniques relatifs aux trois courbes A , B, G passent par un même point ^
3^. Le lieu des points doubles des courbes représentées par Féquation A + XB -H jxC = o, où X et fx sont deux constantes arbitraires.
Lorsque w= 2 , on a ce théorème : Étant données trois coniques y par les intersections de deux quelconques d'entre elles on peut mener trois coniques qui touchent la troisième^ on obtient ainsi neuf points de contact situés sur une courbe du troisième degré. Cette courbe passe encore par neuf points déterminés^ ce sont les points d^ intersection des côtés et des diagonales des quadrilatères inscrits à la fois dans deux quelconques fies coniques données.
Lorsque les trois coniques ou plus généralement les courbes A , B, C passent par un même point, le lieu correspondant passera par ce point. Des cercles situés dans un même plan passent par deux mêmes points situés à l'infini : il résulte de là que si les coniques du théorème précédent deviennent des cercles , le lieu correspondant , qui est toujours du troisième degré, se décomposera en une droite située entièrement «à l'infini et en une courbe du second degré qui doit être un cercle, puisque cette courbe doit passer par deux points déterminés situés à l'infini.
De là résulte ce théorème : Trois cercles étant situés dans un même plan y on peut généralement tracer^ par
{*) Viute harmonique est donné par le théordise dé MaeUurin, Tu.
tes intersections de deux d^ entre eux, deux cercles qui touchent le troisième^ on a ainsi six points de contact situés sur un même cercle. Ce cercle coupe orthogonale' ment les trois cercles donnés.
Cette dernière partie s'aperçoit facilement (*).
Il est donc démontré que si A , B, C représentent trois cercles, Féquation (3) sera le cercle qui les coupe orthogonalement.
Soit
(jT, — aarj)' -H (.^j — pa:3)2 =r r » j?;
Tun de ces cercles  ; on a des équations analogues pour les deux autres B et C j l'équation (3) devient
a;, —a JCg JTj — p ^3 — a a:, — p ^2-h^3(a2 -|-p» — r») a:,— a' 3:3 a:^— p' ^3 — a'.r,— p'xa4-*3(a ^ -f-p"— r") =o; j?,— a V, 0:2— p''^:., — a"j:,— p"a:5-4-^3 (a"»4-p"2— r"')
développant , on a
2la"^.+ P"x,-.^,(a''^+p"»- r"']
X[^.(p-p')-f-^2(«'-«)+^3(«P'-p«')l=or);
le premier facteur est la polaire de l'origine relativement au cercle C -, le second est la droite qui joint les centres des cercles A et B. Désignons par
les équations des droites qui joignent les centres des cercles B et C, C et A , A et B, et par
a'=:b'=c'=zo
'(*) C'est à démontrer. Tm.
(**) On divise par le facteur jr,. Tu.
Xa — ^ a:3
les polaires de rorigine relativement aux cercles A , B, C^ l'équation (3) prendra la forme
fl«'4-^^'4-cc'==o.
(Brioschi , "voir p. 23o. )
On peut interpréter autrement réquation du cercle orthogonal à trois autres 5 en effet, on ne changera pas le déterminant précédent en ajoutant aux éléments de la troisième colonne multipliés par x^ , ceux de la première et de la deuxième multipliée respectivement par 0:1 etJCj. On a ainsi
Le point x^ , x^ , x^ appartenant au cercle orthogonal , A sera le carré de la tangente menée de ce point au cercle
A , de même B sera le carré de la tangente menée du même point au cercle B, etc., le déterminant
X\ ^~~ QL X^ X^ ^~" p X^
.r, — a'jTa x., — p'x,
indique le double de l'aire du triangle qui a pour sommets le point (xi , Xj, x^) et les centres des cercles A et B.
Désignons donc par a, ft, c les longueurs des tangentes menées d'un point du cercle orthogonal aux trois cercles A,
B, C, para', b\ c' les aires des triangles ayant un de leurs sommets en ce point et les deux autres aux centres B et C, C et A > A et B. Pour tous les points du cercle orthogonal on aura la relation géométrique
Ann, de Maihémat., f.XVlII. (Juillet iSSg.)
( Ma ) SOLUTION DE LA QUESTION 461
(TOirt. XVIII, p. 46);
Par m. BOUTËRG (de Cle&mont).
Démontrer que la série
1.2.3*. ./z 2.3, ..(/i-hi) 3,4. . . ('î +- 2)' est convergente et a pour limite
(n — i).i.2,3. . . n — I Ce qui donne la formule
en désignant par A""^* le nombre des arrangementsde/ï+i lettres nkn.
Lemme. On a identiquement
a a ac
donc on peut poser la série des identités suivantes :
• =:iH ï
n — I Tî-f-i — 2 «4-1 («-hi)(/î-f-i— 2j
(«4-l)(/î4-I— 2) (;,2-(-ij(«-|-2— 3) («+i)(„-f-2) I .2.3
(«-hi)(«H-2){/î-H2-«3)'
(/H-l)(ll-f-2).. .(«H-^ — 2) [«H-^ — I — ^] I .2.3.. , k — I
(n4-i)(»-f-2). ..(/n-it— i)
Ajoutons membre à membre toutes ces égalités, il vient
n — I «-hi («-h i}(/i -h 2)
R étant donné par la relatitm
Je vais prouver que R tend vers zéro lorsque k augmente indéfiniment. Prenons une valeur de k déjà grande et supérieure au nombre n , dont la valeur est finie et déterminée. Posons
/ pouvant croître indéfiniment. Nous aurons
j^ 1.2.. ./i(yi4-0(/g4-2).. .(/?4-/)
-(«H-,)(«4-a)...(«H-/)[X4-ip-+-2]...p^+/i^i](/i-.|)'
on aperçoit alors une réduction qui, effectuée, conduit à 1.2. .. «
d'où l'on voit que si k augmente indéfiniment, R tend vers zéro ; donc on a
2=llin IH ; h . ; r -|- • • . h
«—I L «4-1 (/2 -f- ij (/ï H-a) J
Théorème. La démonstration du théorème qui constitue la question n'offre plus de difficulté, car en nommant S la série , on a
La parenthèse est une série convergente, qui a pour limite ^ donc enfin la série donnée est convergente et
a pour limite
72 + 1 I .2. . . (it — l)
Note du Rédacteur.
M. LéonBrault, élève de l'Institution Barbet, remarque que
( Catalan, Algèbre^ Manuel des Candidats y p. 62, et Nouvelles Annales ^ t, XV, p. i»57.) En divisant les deux membres par i.2.3...'z, on obtient
( a45 ) M. Rouquet , régent au collège de Castres , remarque que
or lorsque n>i, la série — H — ;, + ô; "+" • • • ^*' convergente; donc la série donnée est convergente.
M. Aubert, professeur, remarque que dans Ténoncé de la question, le résultat précédent conduit à la formule
"n An An ^/l — Ij An-~f
dans laquelle A""*"' représente le nombre des arrangements de (/i + 1) lettres nkn.
Il peut servir également à démontrer la suivante :
C"^* désigne le nombre des combinaisons de (n -j-i) lettres nkn.
Il suffit, en eâet, de multiplier cbacun des termes de la série (i) par le facteur z . 2.3. . . /<; elle devient alors
dont les termes sont respectivement égaux à ceux du premier membre de la formule (2).
Il est d'ailleurs évident, d'après ce qui précède, que la série (3) a pour limite
(/i-i).i.2.3...(/i-i) "" "" („-,)cr;'
{*) Ce que démontre également M. Pugot, élève du lycée de Caon.
( 246) la limite de la série (i) permet encore d'obtenir très-simplement celle de la série
/w-t-i (iw-|-i)(iw-f-2) (/ii-4-i)(/w4-2)(/w-h3)
donnée parmi les Exercices du Manuel des Candidats à V École Polytechnique y de M. Catalan (p. 62), et Nonuelles Annales (t. XV, p. ^57).
Il est facile de voir que la série (4) peut être mise sous la forme
,ywv |i.2.3...//t 2.3. . . /w (m -+- 1) ^^ j 1.2. 3. ..m
