I. Polynômes et équations homogènes
2. Dans tout ce qui suit , nous ne nous occuperons que des polynômes entiers et homogènes relativement aux variables. En faisant passer tous les termes d'une équation dans le même membre, ou obtient un polynôme égal à zéro. C'est sous cette forme que nous considérerons les équations.
3. Toute équation peut être rendue homogène par l'introduction d'une nouvelle quantité, de valeur quelconque.
Exemple. L'équation
n'est pas homogène j prenant pour inconnue -, elle se
change en
ax -\- by = o;
équation homogène.
De même
ax^ H- 6j: -I- c = o
devient, par une telle transformation, ax^ -f- bxy" -H cjr^ = o, qui est homogène 5
ax -f- by -}- cz -\- d==.o;
en remplaçante, j 5 z par -? -5 -? cette équation prend
la forme
«jc 4- 6j^ -h C3 4- £/« = o ;
ax* -f- bxy -^ cx^ -^^ dy -¥■ ex -^ f devient
en introduisant la nouvelle indéterminée z\ et de même pour les polynômes de tous degrés et pour un nombre quelconque de variables.
IL Notation et dénomination des polynômes. 4. Soit
U = ax^ -h 2 bxy -h car* = (a , b){x^ yf.
le trinôme U est dit binaire parce qu'il ne renferme que deux variables, et quadratique parce quMl est du deuxième degré ; on représente ce polynôme de la manière abrégée indiquée par le membre à droite.
Soit encore
U = fljc'-l- 3bx*y 4- 3cxx^ -h dy^ = («, ^> c, rf)(j:, j)% U est un polynôme binaire et cubique.
U = jc* H- [^bx^ y H- 6cr» j' -f- ^dxy^ -f- ey''
= {a, b,c^d,€}{x, yy
est un polynôme binaire biquadratiquc ; et en général
U = «a;" H- /î, bx^-^ y -f- /i^ ex"-' j^' 4- z?., i/»r"-3 7=* + . . . = («, byc.d,.. .){Xy y)%
Tip est un coefficient binomial.
U = ax^ 4- by"^ -h cz' 4- 2 ^(yz 4- 2 r.rz 4- 2^^:^ = (/!, /;,c, r/, ^,/)(.r, j)'
est un polynôme ternaire quadratique.
En général, chaque terme d'un polynôme renferme le coefficient multiplié par le nombre polynomial qui convient à ce terme s'il s'agissait du développement d'une puissance. Par exemple, dans le polynôme ternaire cubique, le terme x^y a pour coefficient numérique 3 çxxjz a pour coefficient numérique 6. Il suffit pour connaître ces coefficients de développer ( j: -j- j^ -H z)'.
C'est M. Cayley qui a introduit cette notation et ces dénominations , et il nomme quantic un polynôme d'un nombre quelconque de variables.
in.' Transformation linéaire des polynômes ; module, 5. Soit
U = fl -c' -h 2 ô^jr -H ^7' = {a,b, c) (jr , y )^
posons
U prendra la forme
U. =r AX^ -f. 2 Bxj 4- Cu:' = ( A , B, C) (.r , j)' :
cette transformation se nomme linéaire j «i Pj — «j^i est le module de la transformation.
On a
A=: /la^-h 2^a,a2-hca;,
C=flpî-f-2 6'p.p,4-cpî, Soient, 1^.
j; = a, X 4- Pi Y, jr = a2X-+-p,Y,
on aura U, = AX'4- 3BX'^ Y-h 3CXY'4- DY^= (A, B, C, D)(X, Y)S
ou
3B=p, — - 4- P2 y-» 3C = a, --— -f- (^2-7^' ^ dai ^ (ia2 d^t dp^
U = (a, b,c,d,e,/){x,x,zy; écrivons
r = aaX-f- p,Y-H7,Z, z = a3X4- P3Y H-73Z;
le module de celte transformatiou est le déterminant [«1 l^j/s]? on aura
A, B, C, D, E, F sont des fonctions des coeflScients a^ h^ c, rf et des a , P, y, que chacun peut calculer.
Ini^an'ants.
\]=zax'''\-7.bxy->t- cy' = («, b, ç) ( j?, j )%
par transformation linéaire on obtient
U. = AX^+2BX-t-CY'.
Soit ç(û, b^c) une fonction quelconque des coefficients a,t, cdeU', et y (A, B, C) une fonction semblable des coefficients deU; y (A, B, C) est une fonction implicite de û, i, c et de a , (3 , y , puisque A , B, C sont des fonctions de a^byC^a^^jy^ si la fonction (p est tellement choisie, queronait(p(A,B,C) = (ai,/3j— aj,l3i)''(p(a,i,c), où p est un nombre entier positif, alors (p (a , i, c) est dît un ins^ariant de T expression U.
1*** Exemple. Preuons
alors
<p(A,B,C) = B-^— AC;
faisant les substitutions (p. 252), on obtient
B» — AC = (a, Pj— p, OL^y [b^ — ac) ;
ainsi &'■ — ac est un invariant de la fonction
ax^ -h 2 ^ ^r/- -4- c/*,
et Cet invariant est du second ordre ^ car le degré de chaque terme est 2.
2^ Exemple,
prenons
^ («, b,Cydye) = ae — 4 ^^ + ^ c%
(p{A, B,C, D, E) == AE — 4BD ■+- 3C'; on aura, les substitutions faites,
AE — 4 BD — 3 C'= (a, p3 — «a p,y(atf-- 4^^ H- Se');
ainsi ae — 4^^ "H 3 c* est un invariant du second ordre de cette fonction U ; on peut vérifier que
ace H- 2 bcd — ad^ — eb^ — c^
est un autre invariant de la même fonction et du troisième ordre.
3*^ Exemple*
l] = (ayb,c, d, e,f) (.r, j, 2)'
= ax' -i- by"^ -+- cz^ -h 2 dyz -h 2 exz -i- 2^x7,
a: = a,X-4- p.Y-f-7iZ,
^rriajX. V ^ . .,
3 = as X ;
nous désignerons dorénavant les invariants par la lettre I;
ici on a
1 = abc-+-2 (itf— ad' — be^ — c/' ,
invariant du troisième ordre 5 car
