Soient deux polynômes

U = fl .ir» + lb XX -h C y^ , U' = a'.r' -+- 2 b^Tf -f- c'^' ;

transformons-les linéairement , on obtient

U, = A X' -+- 2B XY -f- C Y% •U;=A'X'4- 2B'XY -4- C'Y=; on a

ACM- CA'— 2BB'= (a, p,— a, ?,)' («r'-h ca'— 2bb');

ainsi ac'-f- ca' — 2^6' est un invariant de ce système U et U'. De même il y a des invariants pour un nombre quelconque de polynômes et de variables.

8. Dans la géométrie des courbes et des surfaces, on effectue principalement des transformationslinéaires^ les invariants sont alors des fonctions des coefficients qui expriment des propriétés indépendantes du choix des axes. Par exemple , si dans le 3® exemple du § 6 on fait I = o , cela exprime que la conique se réduit à un point où à deux droites; propriété indépendante du choix des axes. La transformation linéaire est la transformation homologique de M. Poncelet.

Il s'agit maintenant de résoudre ce problème : Étant donné un quantic, trouver ses im^ariants. Pour obtenir cette solution , il est nécessaire de connaître les discriminants.

( La suite prochainement. )

( fi56 )